例說空間軌跡問題的解題策略

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1、高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2007年例說空間軌跡問題的解題策略蔡勇全(四川省資陽市雁江區(qū)中和中學(xué),641321)空間軌跡問題是近幾年來高考中涌現(xiàn)出(A)直線(B)圓的一個新亮點,而且命題大多呈現(xiàn)在知識點(C)雙曲線(D)橢圓的交匯處.本文將就其常用的解題策略舉例解因為D1C1⊥平面BB1C1C,所以說明,以饗讀者.D1C1⊥PC1,點P到直線C1D1的距離為PC1、策略1巧用定義法于是問題的條件轉(zhuǎn)化為在平面BB1C1C內(nèi),點例1在正P到點C1的距離與點P到直線BC的距離之比方體ABCD-1為,由橢圓第二定義可知,動點P的軌跡為A1B1C1D1中,點P2在面BCC1B1及橢圓,

2、故應(yīng)選D.其邊界上運(yùn)動,例2正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為若P到直線BC與1,點M在棱AB上,且AM=1,點P是平面3直線C1D1的距離ABCD上的動點,且動點P到直線A1D1的距離之比為2∶1,則動點P的軌跡為()11111上確定一點P,使得PF與CD所成的角是60°.1-+-+-+324351111-+-這一段得相消規(guī)律是4657“余下的是最前兩個括號中的正項和最后兩個括號中的負(fù)項”,由此類推得111S=1+2--.2nn+23.關(guān)注變化中的不變關(guān)系分析如圖6建立坐標(biāo)系,則C(0,0,0),22例8已知圓M:x+(y-2)=1的弦D(2,0,0),F

3、(2,2,1),設(shè)P(t,t,0)(0≤tAB所在直線的方程ax-2y+3=0,當(dāng)a變化≤2),則時,動弦AB的中點軌跡為()PF=(2-t,2-t,1),CD=(2,0,0),分析弦AB雖在動,但總過定點因為PF與CD所成的角為60°,所以有3N0,,且圓心M為(0,2),AB的中點與圓2

4、(2-t)·2

5、1=.心M的連線與弦AB始終垂直,故動弦AB的中222(2-t)+(2-t)+1·2點軌跡是以MN為直徑的圓.232解之得t=,t=(舍去),即點P為例9已知正方形ABCD和矩形ACEF所在22的平面互相垂直,AB=2,AF=1,試在線段ACAC的中點.·20

6、·第11期高中數(shù)學(xué)教與學(xué)與動點P到點M的距離的平方差為1,則動點1=(SA1B1BA-S&A1B1EP的軌跡是()3(A)圓(B)拋物線-S&HBE-S&A1AH)·D1A1(C)雙曲線(D)直線=1×3×2=1.32解設(shè)PF⊥A1D1,垂足為F,過點P作∴F是所求軌跡上的一個特殊點.又HFPE⊥AD,垂足為E,連接EF,則AD⊥平面2∥平面A1D1E,因而HF上任一點K都使得PEF,∴AD⊥EF,即EF∥AA1.∵

7、PF

8、-2222VK-A1D1E=1,故動點K的軌跡為線段HF.

9、PM

10、=1,且

11、PF

12、-

13、PE

14、=

15、EF

16、=評注在用取特殊點法探究軌跡問題1,∴

17、

18、PE

19、=

20、PM

21、,由拋物線定義知點P的時,必須選擇合適的兩點或多點,以便得出所軌跡是以點M為焦點,AD為準(zhǔn)線的拋物線,故有動點具有的某種共性.應(yīng)選B.策略4降維轉(zhuǎn)化法策略2動中取靜法例5若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)例3已知直平行六面體ABCD-一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距A1B1C1D1的各條棱長均為3,∠BAD=60°,長離相等,則動點P的軌跡與&ABC組成的圖形為2的線段MN的一個端點M在DD1上運(yùn)動,可能是().另一端點N在底面ABCD上運(yùn)動,則MN的中點P的軌跡(曲面)與共一頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為()24(A)π(B)π992

22、4(C)π(D)π33分析由于N是運(yùn)動的,故動點P的軌跡的解決必須在“動”中求“靜”.在Rt&MDN1中,PD=MN=1為定值,所以動點P的軌2跡是以D為球心,半徑為1的球面在直平行六4311面體內(nèi)的部分,體積為π·1××=323解設(shè)三棱錐側(cè)面ABC與底面BCD所2成的角為θ,P到BC的距離為m,P到底面的距π,故選A.9離為h,則h=msinθ,所以P到BC的距離與策略3取特殊點法.P到AB的距離之比為常數(shù),P的軌跡為直線且例4棱長為2的正方體AC1中,E為BB1P到BC的距離較大,應(yīng)選D.的中點,在正方形ABCD內(nèi)是否存在點K使得例6已知P是正三棱錐S-ABC

23、的側(cè)面三棱錐K-A1D1E的體積為1?若存在,求出點SBC內(nèi)一點,P到底面的距離與到點S的距離K的軌跡,若不存在,說明理由.相等,則動點P的軌跡所在的曲線是().分析取特殊點F(CD的中點),計算(A)圓(B)拋物線VF-A1D1E的值是否為1.設(shè)AB的中點H,因為(C)橢圓(D)雙曲線HF∥A1D1,所以解過P作PG⊥BC,垂足為G;設(shè)P在VF-A1D1E=VH-A1D1E=VD1-A1HE,平面ABC內(nèi)射影為H,連HG,則HG⊥BC,1∠PGH為二面角S-BC-A的平面角.設(shè)VD1-A1HE=S&A1HE·D1A13·21·高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2007年P(guān)H盛裝的,

24、易拉罐是近