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《2011-2012學(xué)年微A下期中試題答案》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、北京理工大學(xué)2011-2012學(xué)年第二學(xué)期《微積分A》期中試題參考答案1e一、1.S=30；2.I=dyf(x,y)dx；∫0∫ey22?x+2y=2x?1yz?13.?;4.==,x+y+z?2=;0?z=0111?z?z5.=2(4ln2+)1,=4.?xx=1?yx=1y=1y=1?z2′2xy′二、=2xf+xcosxf+xyef,13?x2?z′xy′2″xy″=2x(?sinyf+xef)+xcosx(?sinyf+xef)231213?x?y2xyxy′2xyxy″+x(e+xye)f+xye(?sinfy′′+xef)33233′2xy′2″xy″=?2xsinyf+xe3(
2、+xy)f?xcosx(sinyf?xef)2312132xyxy″?xye(sinfy′′?xef)3233222三、解法1I=∫∫R?x?ydxdyDπ利用對Rcosθ2222∫dθ∫R?ρρdρ稱性003π32R32Rπ2=∫21(?sinθ)dθ=(?).30323πRcosθ222解法2I=dθR?ρρdρ∫?π∫023π32R32Rπ2=21(?sinθ)dθ=(?).∫π3?3232出現(xiàn)的嚴(yán)重錯誤：解法2中有同學(xué)未考慮定積分的積分區(qū)間，把第二個等式中的絕對值符號漏寫，導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。1?f2x22x四、令=2e(x+y+2y)+e=0?x?f2x1=e2(y+)2=0解得駐點(diǎn)：
3、(,?)1?y2222?f2x2?f2x?f2x=4e(x+y+2y+1),=4e(y+1),=2e.22?x?x?y?y1在點(diǎn)(,?)1222A=2e,B=,0C=2e，Δ=B?AC=?4e<0，1又A=2e>0，所以點(diǎn)(,?)1是極小值點(diǎn)；21e極小值為f(,?)1=?.2254五、由于積分區(qū)域關(guān)于yoz面對稱，所以∫∫∫2xyzdxdydz=0V5422I=∫∫∫2(xyz+xy+z)dxdydz=∫∫∫(xy+z)dxdydzVV111?y2128464221184=2dxdy(xy+z)dz=(x?x+x?x+)dx=.∫0∫x2∫0∫03333945r六、設(shè)直線L的方向向量為s=
4、}1,1,1{×,1,1{?}1={?,2,2}0，?x=1+t?L1的參數(shù)方程為：?y=t，??z=?2?t代入平面π的方程，得L與π的交點(diǎn)坐標(biāo)為,3(,2?)41x?3y?2z+4所以直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為L:==?220222七、V在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈:x+y≤1，π112πI=∫∫∫dv=∫dθ∫4d?∫cos?rsin?dr222000Vx+y+zπsin?=π∫4d?=(2?)1π.0cos2??uyz?z?z八、=ey?(z+x)sinxz?x?x?x?z方程f(x?y,xz)=0兩邊對x求偏導(dǎo)，得，f′+f′(z+x)=012?x?zf′+fz′12?=?，?xfx′2?uy
5、zf1′+fz2′f1′?=?ye+sinxz.?xfx′f′22?uyz?z?z同理：=e(z+y)?xsinxz,?y?y?y?z方程f(x?y,xz)=0兩邊對y求偏導(dǎo)，得，?f′+fx′=012?y?zf′1?=?yfx′2?uyzyzf1′f1′?=ze+ye?xsinxz.?yfx′fx′2222九、（1）曲面S的方程為：z=1?x?y22（2）由題意，密度f(x,y,z)=x+y由對稱性知：x=y=,022∫∫∫zx+ydxdydzVz=22∫∫∫x+ydxdydzV322π11?ρ4π222解法1（柱坐標(biāo)法）∫∫∫x+ydxdydz=∫0dθ∫0dρ∫0ρdz=V1522π1
6、1?ρ8π222∫∫∫zx+ydxdydz=∫0dθ∫0dρ∫0zρdz=V10512π1?z4π222解法2（軸截面法）∫∫∫x+ydxdydz=∫0dz∫0dθ∫0ρdρ=V1512π1?z8π222∫∫∫zx+ydxdydz=∫0dz∫0dθ∫0zρdρ=V10522故z=，所以質(zhì)心坐標(biāo)為：,0,0().77r110十、l={,?}0,22?f所以目標(biāo)函數(shù)為：r=(2x?y)?l222約束條件為：x+2y+3z=6222構(gòu)造拉氏函數(shù)：F(x,y,z)=(x?y)+λ(x+2y+3z?)6?Fx′=1+2λx=0??Fy′=?1+4λy=0?F′=6λz=0?z?x2+2y2+3z2=6
7、?解得駐點(diǎn)為：A(?0,1,2),B,2(?)0,1?f?f又r
8、=(2x?y
9、)=?32，r
10、=(2x?y
11、)=32AABB?l?l比較知，滿足題目要求的點(diǎn)的坐標(biāo)為：B,2(?)0,1，方向?qū)?shù)的最大值為3.242tt十一、解法1記f(t)=∫∫arctan(1+y)dxdy=∫dy∫arctan(1+y)dx0yD2t=∫(t?y)arctan(1+y)dy022tt=t∫arctan(1+y)dy?∫y
