2010-2011學(xué)年微A下期中試題答案

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1、北京理工大學(xué)2010-2011學(xué)年第二學(xué)期《微積分A》期中試題解答一、填空題（每小題4分，共20分）1.x+3z=;01?u3π2.gradu

2、=?{π1,1,};r=?;M04?lM120y3213y93.I=∫dy∫edx,(e?1);006r01x?1y?1z?34.n=±,4,2{?1},==;2124?15.f′)0,0(=?,1f′)0,0(=.1xyr二、(1)d=,5{?0,1};rrra?d43(2)(d)ar=r=;

3、a

4、3rrrijkrr(3)a×d=111=,5,1{?6}.5?10?z三、=fy′+gy′f′,1

5、2?x2?z′′″″″=f+g′f+xyf+y[g′(x)x+g(x)]f+gy′(x)g(x)f.12111222?x?y由題意知：g′)1(=,0g)1(=,1所以2?z′″″

6、=f)1,1(+f)1,1(+f1,1().x=111112?x?yy=122四、I=∫∫(2x+y)dxdyDπ2cosθ23=2dθρdρ∫?π∫cosθ2π=15∫2cos4θdθ031π45=15×××=π.42216?f五、=2x?4y=0?x?f2=?4x?4y+3y=0?y解得駐點(diǎn)：0,0(),)4,8(222?f?f?f=,2=?,4=?4+6

7、y.22?x?x?y?y在點(diǎn))0,0(2A=,2B=?,4C=?4，Δ=B?AC=24>0，所以點(diǎn))0,0(不是極值點(diǎn)；在點(diǎn))4,8(2A=2>,0B=?,4C=20,Δ=B?AC=?24<0，所以點(diǎn))4,8(是極小值點(diǎn)，且極小值為f)4,8(=?32.六、I=∫∫∫xdxdydzΩ1?x11?x?2y=∫dx∫2dy∫xdz0001?x1=∫dx∫2x1(?x?2y)dy001123=∫(x?2x+x)dx401=.48r七、設(shè)直線L的方向向量為s={m,n,p}，r直線L的方向向量為s=,2{?,1?}111rr由題意，L⊥L,?s?

8、s=0，所以有2m?n?p=011rr取點(diǎn)M)2,0,1(∈L,又因?yàn)長(zhǎng)與L相交,所以向量s，s，MM=}0,1,0{共面，11111mnp有2?1?1=m+2p=0010有m=?2p,n=?5pr所以L的方向向量為：s={?5p,?2p,p}//{,5,2?}1?x=1+2t?所以L的參數(shù)方程為：?y=?1+5t??z=2?t（注：此題還有其他解法）222八、用柱坐標(biāo)，F(xiàn)(t)=∫∫∫[f(x+y)+z]dVV2πt222=∫dθ∫ρdρ∫[f(ρ)+z]dz000t82=2π∫ρ2[f(ρ)+]dρ03t822=4π∫ρf(ρ)dρ+

9、πt.03dF216π=4πft(t)+t.dt3九、方程兩邊取微分，得ydz?zdxxdz?zdxF′(dx+)+F′(dy+)=01222yx整理得22y(zF′?xF′)x(zF′?yF′)2112dz=dx+dy22xF′+xyF′xyF′+yF′121222?zy(zF2′?xF1′)?zx(zF1′?yF2′)∴=,=22?xxF′+xyF′?yxyF′+yF′1212?z?zx+y=z?xy?x?y（注：求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)還有其他方法）22十、Ω在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈:x+y≤3，2222πz=2+4?x?y?r=4cos?，z

10、=(3x+y)??=6由對(duì)稱性，知3333I=∫∫∫(x+y+z)dxdydz=∫∫∫zdxdydzΩΩπ2π4cos?653=∫dθ∫d?∫rcos?sin?dr00012π2π91562=∫64sin?cos?d?=π.301512十一、目標(biāo)函數(shù)為：V=πRh22約束條件為：S=πR+πRh122構(gòu)造拉氏函數(shù)：F(R,h)=πRh+λ(πR+πRh?S)2?FR′=πRh+λ2(πR+πh)=0??12?Fh′=πR+λπR=0?22??S=πR+πRhhSS解得唯一駐點(diǎn)為：R==,h=223π3πhSS由問(wèn)題的實(shí)際意義知，當(dāng)R==,

11、h=2時(shí)，此容器容積最大，23π3πSSV=.最大33π