獲獎(jiǎng)數(shù)學(xué)建模論文

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1、附錄近幾年數(shù)學(xué)建模獲獎(jiǎng)?wù)撐慕痈?jìng)渡的優(yōu)化模型一、符號(hào)說(shuō)明：水流的速度單位：m/s：游泳者的速度單位m/sV：第一名游泳的速度單位：m/st：第一名游泳所用的時(shí)間單位：sθ：游泳方向與水流方向的夾角y：競(jìng)賽區(qū)兩岸的垂直距離單位：mS：競(jìng)賽區(qū)的水平距離單位：mL：水的位移單位：mt：游泳者所用的時(shí)間單位：s：競(jìng)賽區(qū)第i段的垂直距離單位：m：競(jìng)賽區(qū)的第i段的水平距離單位：m1000漢陽(yáng)南岸咀v(水)1160vθ武昌漢陽(yáng)門(mén)圖1二、模型的建立與求解模型假設(shè)：⑴不考慮風(fēng)力對(duì)水速的影響。⑵不考慮水溫對(duì)人的體力影響。⑶不考慮江面

2、風(fēng)浪等水情對(duì)人的影響。⑷將起點(diǎn)和終點(diǎn)均看作一點(diǎn)，記為A，B。⑸江面寬度保持不變，即兩岸是保持平行的。模型Ⅰ：（水流恒速模型）問(wèn)題1：通過(guò)對(duì)本題的分析，利用流體力學(xué)原理及圖論的分析方法，建立模型。當(dāng)競(jìng)渡區(qū)域每點(diǎn)的流速均為1.89m/s時(shí)，在14’8’’的時(shí)間內(nèi)，水流的位移為：L==1602.72m斷定游泳者的速度在逆水方向上有一分量，即游泳者速度的方向應(yīng)與水流的反方向成一定夾角，設(shè)此夾角為θ，如圖⑴。于是可得解得由題可知，長(zhǎng)江水流速度的大小和方向是不變的，令游泳者的速度為V，方向與水流反方向成θ角，于是可得：消去，

3、我們可以得到夾角θ與速度的關(guān)系為：。當(dāng)V=1.5m/s時(shí)，代入可得。此時(shí)，=1160/（V×sinθ）=910.491s。即游泳者的V=1.5m/s時(shí)成績(jī)?yōu)?10.491s，在此種情況下，游泳者所走的路線為從武昌漢陽(yáng)門(mén)至漢陽(yáng)南岸咀的一條直線。問(wèn)題2：（1）在問(wèn)題1的假設(shè)下，當(dāng)游泳者始終以和岸邊垂直的方向游時(shí)，可以列出以下方程式因?yàn)?1.89m/s，得出=2.1924m/s。即：當(dāng)游泳者速度≥2.01924m/s時(shí)，他們能到達(dá)終點(diǎn)。當(dāng)游泳者速度＜2.01924m/s時(shí)，他們將無(wú)法到達(dá)終點(diǎn)。有分析可知：人的游泳速度在

4、1.5m/s，不可能達(dá)到2.1924m/s，所以，日如果從一開(kāi)始路線選擇錯(cuò)誤，將無(wú)法到達(dá)終點(diǎn)。（2）模型中看出影響游泳者到達(dá)終點(diǎn)的因素主要是：水流速度、游泳者的速度V和該速度方向與水流方向的夾角θ，以及競(jìng)賽區(qū)域的水平距離S和垂直距離y。在2002年，全程長(zhǎng)度較1934年要短的多，因此，若想到達(dá)終點(diǎn)，就必須要求游泳者速度比較快。如圖⑵，合速度OS應(yīng)保持在OA直線上，BASMαNO圖2即當(dāng)水流速度為1.89m/s時(shí)，根據(jù)力的平行四邊形定則，ON=MS當(dāng)MS⊥OA時(shí)，MS取得最小值。根據(jù)已知，OB=1160m，OM=1

5、.89m/s。在1934年時(shí)，當(dāng)OA=5000m時(shí)，。在2002年時(shí)，，。顯而易見(jiàn)，在1934年時(shí)，只要游泳者的速度大于0.43848m/s，就能到達(dá)對(duì)岸，而一般人的游泳速度要比這個(gè)速度大的多，因此在此前提下，路線略有變動(dòng)，也不致被沖到下游，最終能夠到達(dá)終點(diǎn)。而在2002年的這次比賽中，要求比賽者的速度必須大于1.4315m/s，且要求方向準(zhǔn)確，因此友一定的難度，只有部分人員選擇了正確的方向，而大部分人被沖到了下游，所以到達(dá)終點(diǎn)的人數(shù)較少。因此，2002年能游到終點(diǎn)的人數(shù)的百分率比1934年要小的多。（3）由上面

6、分析可知，能夠到達(dá)終點(diǎn)的選手必須滿足如下條件：a.游泳選手的身體素質(zhì)要好，游泳速度在1.4315m/s以上。b.游泳選手的方向感要強(qiáng)，以調(diào)整方向選擇正確的路線。模型Ⅱ：(水速分段變化的模型)問(wèn)題3的求解根據(jù)水的流速，將游泳路線分為三個(gè)階段考慮，在每一階段上速度為一定值，與第一問(wèn)的情況大致相同，所走路線如圖（3）所示。設(shè)在三段中，所用的時(shí)間分別為，且，于是可得以下關(guān)系：目標(biāo)函數(shù)為：。結(jié)合模型Ⅱ通過(guò)編程求的最優(yōu)解：即游泳者在個(gè)路段中的游泳方向與水流反方向的夾角分別為：各交界點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（94.062112，200

7、），B（802.749845，960）游泳者所走路線的函數(shù)方程為：游泳者的路線在各段中均為直線，如圖（3）所示。競(jìng)渡共需時(shí)間：。問(wèn)題4的求解960200Ox1000ABC圖3y1160當(dāng)水的流速為連續(xù)分布時(shí)，仍將此模型分為三個(gè)階段。設(shè)在三個(gè)階段的速度分別為，在第一階段和第三階段時(shí)，和y呈線性關(guān)系，為了計(jì)算時(shí)間，取這兩段的平均速度為研究對(duì)象，于是可得：所以的分布為：與問(wèn)題3大致相同，由程序同理可得：共需時(shí)間為：整個(gè)游泳過(guò)程中，設(shè)t時(shí)刻時(shí)游泳所處的位置為：由題意可得：解得：在第一、三階段中，我們?nèi)〉檬撬鞯钠骄俣龋?/p>

8、在此前提下選手的游泳方向和大小不變，θ也為一定值。在第一階段中，代入上式，積分可得第一階段的路線方程。同理，可求出在可得第三階段的路線方程。在第二階段中，因?yàn)樗贋橐欢ㄖ?，所以游泳者的路線在此段中為一直線。綜上所述，游泳者所走的路線函數(shù)方程為;游泳者所走路線的路徑如圖（4）所示。三、模型的優(yōu)缺點(diǎn)Oxy11609602001000圖4從問(wèn)題出發(fā)，分析了應(yīng)該考慮的各種情況，建