預(yù)測類數(shù)學(xué)模型

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1、天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院王武第二章預(yù)測類數(shù)學(xué)模型本章重點：預(yù)測類數(shù)學(xué)模型的基本思想，掌握基本的數(shù)據(jù)擬合方法—多項式數(shù)據(jù)擬合，灰色預(yù)測模型等。學(xué)習(xí)要求1．能用基本的數(shù)學(xué)模型方法解決一些簡單的預(yù)測類問題。2．掌握基本擬合方法的原理與優(yōu)缺點。2.1最小二乘法的基本原理和多項式擬合2.1.1最小二乘法的基本原理從整體上考慮近似函數(shù)同所給數(shù)據(jù)點(i=0,1,…,m)誤差(i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差(i=0,1,…,m)絕對值的最大值，即誤差向量的∞—范數(shù)；二是誤差絕對值的和，即誤差向量r的1—范數(shù)；三是誤差平方和的算術(shù)平方根，即誤差向

2、量r的2—范數(shù)；前兩種方法簡單、自然，但不便于微分運算，后一種方法相當(dāng)于考慮2—范數(shù)的平方，因此在曲線擬合中常采用誤差平方和來度量誤差(i=0，1，…，m)的整體大小。數(shù)據(jù)擬合的具體作法是：對給定數(shù)據(jù)(i=0,1,…，m)，在取定的函數(shù)類中,求,使誤差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即=從幾何意義上講，就是尋求與給定點(i=0,1,…,m)的距離平方和為最小的曲線（圖6-1）。函數(shù)稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法.14天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院王武2—12.1.2多項式擬合所謂

3、多項式數(shù)據(jù)擬合，主要是采用多項式函數(shù)形式來進(jìn)行擬合、逼近數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來的趨勢。多項式的系數(shù)可以由最小二乘法計算出來。假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(i=0,1,…,m)，為所有次數(shù)不超過的多項式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一,使得(1)當(dāng)擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式（1）的稱為最小二乘擬合多項式。特別地，當(dāng)n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。顯然為的多元函數(shù)，因此上述問題即為求的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得(2)即(3)（3）是關(guān)于的線性方程組，用矩陣表示為14天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院王武(4)式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組。可以證明，方程組

4、（4）的系數(shù)矩陣是一個對稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（4）中解出(k=0,1,…，n)，從而可得多項式(5)可以證明，式（5）中的滿足式（1），即為所求的擬合多項式。我們把稱為最小二乘擬合多項式的平方誤差，記作由式(2)可得(6)多項式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：(1)由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形——散點圖，確定擬合多項式的次數(shù)n；(2)列表計算和；(3)寫出正規(guī)方程組，求出；(4)寫出擬合多項式。在實際應(yīng)用中，或；當(dāng)時所得的擬合多項式就是拉格朗日或牛頓插值多項式。*2.1.3最小二乘擬合多項式的存在唯一性定理1設(shè)節(jié)點互異，則法方程

5、組（4）的解存在唯一。14天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院王武定理2設(shè)是正規(guī)方程組（4）的解，則是滿足式（1）的最小二乘擬合多項式。*2.1.4多項式擬合中克服正規(guī)方程組的病態(tài)在多項式擬合中，當(dāng)擬合多項式的次數(shù)較高時，其正規(guī)方程組往往是病態(tài)的。而且：①正規(guī)方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)越高，病態(tài)越嚴(yán)重；②擬合節(jié)點分布的區(qū)間偏離原點越遠(yuǎn)，病態(tài)越嚴(yán)重；③(i=0,1,…，m)的數(shù)量級相差越大，病態(tài)越嚴(yán)重。為了克服以上缺點，一般采用以下措施：①盡量少作高次擬合多項式，而作不同的分段低次擬合；②不使用原始節(jié)點作擬合，將節(jié)點分布區(qū)間作平移，使新的節(jié)點關(guān)于原點對稱，可大大

6、降低正規(guī)方程組的條件數(shù)，從而減低病態(tài)程度。平移公式為：(9)③對平移后的節(jié)點(i=0,1,…，m),再作壓縮或擴(kuò)張?zhí)幚恚邯ィ?0）其中,（r是擬合次數(shù)）（11）經(jīng)過這樣調(diào)整可以使的數(shù)量級不太大也不太小，特別對于等距節(jié)點，作式（10）和式（11）兩項變換后，其正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣設(shè)為A，則對1～4次多項式擬合，條件數(shù)都不太大，都可以得到滿意的結(jié)果。變換后的條件數(shù)上限表如下：擬合次數(shù)1234=1<9.9<50.3<435?14天津理工大學(xué)中環(huán)信息學(xué)院王武④在實際應(yīng)用中還可以利用正交多項式求擬合多項式。一種方法是構(gòu)造離散正交多項式；另一種方法是利用切比

7、雪夫節(jié)點求出函數(shù)值后再使用正交多項式。這兩種方法都使正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣為對角矩陣，從而避免了正規(guī)方程組的病態(tài)。例1：世界人口預(yù)測問題人類社會進(jìn)入20世紀(jì)以來，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時，世界人口也以空前的規(guī)模增長，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表3.1所示。表3.1世界人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)年份1625183019301960197419871999人口/億5102030405060可以看出，人口每增長10億的時間由100年縮短為十幾年。人口增長使人類賴以生存的地球環(huán)境急劇惡化，人們幡然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系、人口數(shù)量的變化規(guī)律，以及如何進(jìn)行人口控制的問題。根據(jù)上表，預(yù)測2

8、000年以后的世界人口發(fā)展趨勢。解題思