選修4-1幾何證明選講（理）

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1、選修④系列選修4－1幾何證明選講(理)課堂講義部課下作業(yè)部分備考方向定位考點(diǎn)層析沖關(guān)內(nèi)容要求考情分析ABC分析近幾年高考題目，可以發(fā)現(xiàn)本講高考命題有以下特點(diǎn)：1．從內(nèi)容上看，與圓有關(guān)的切線、割線以及三角形問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題．2．從命題形式看，以基礎(chǔ)題目為主，難度不大，主要考查推理論證能力.相似三角形的判定和性質(zhì)定理√射影定理√圓的切線的判定與性質(zhì)定理√圓周角定理、弦切角定理√相交弦定理、割線定理、切割線定理√圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理√[?？碱}型匯總][例1](2011·陜西高考)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，求BE的長(zhǎng)．[例2]

2、(2011·淮安模擬)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，直線MN切⊙O于點(diǎn)C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.[解]證明：(1)在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD又∠BAE＝∠EDC，∵BD∥MN，∴∠EDC＝∠DCN.∵直線是圓的切線，∴∠DCN＝∠CAD.∴∠BAE＝∠CAD.∴△ABE≌△ACD.(角、邊、角)[沖關(guān)智囊必備]知識(shí)溯源1．相似三角形的判定：(1)兩內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;(2)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．2．相

3、似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)高的比以及對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比均與相似比相等．(3)相似三角形的面積比等于相似比的平方．方法技巧證明三角形相似的一般思路是：先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等；若只找到一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)成比例；若找不到角對(duì)應(yīng)相等，就要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例．易誤提醒在利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．[解](1)BE平分∠ABC；證明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC.∴∠ACB＝∠CAD＋∠ADC＝2∠CAD.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD.∵∠CAD

4、＝∠EBC，∴∠ABC＝2∠EBC.∴BE平分∠ABC.(2)連接EC，由(1)BE平分∠ABC，∴E是弧AC的中點(diǎn)．∴AE＝EC＝6.又∠EBC＝∠CAD＝∠ADC，∴ED＝BE＝8.[?？碱}型匯總][例7](2011·鹽城模擬)在直徑是AB的半圓上有兩點(diǎn)M，N，設(shè)AN與BM的交點(diǎn)是P.求證：AP·AN＋BP·BM＝AB2.[證明]作PE⊥AB于E，∵AB為直徑，∴∠ANB＝∠AMB＝90°∴P，E，B，N四點(diǎn)共圓，P，E，A，M四點(diǎn)共圓．AE·AB＝AP·AN，①BE·AB＝BP·BM，②①＋②得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM.即AP·AN＋BP·BM＝AB2.[例8]

5、(2011·宿遷模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)∠AED＝∠AFD；(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.[證明](1)連接AD.因?yàn)锳B為圓的直徑，所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，則A、D、E、F四點(diǎn)共圓．∴∠DEA＝∠DFA.[沖關(guān)智囊必備]知識(shí)溯源1．相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成兩段的積相等．2．割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等．3．切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段的等比中項(xiàng)．方法

6、技巧與圓有關(guān)的比例線段關(guān)系，主要是指圓的切割線定理、割線定理、相交弦定理等，其定理的證明大多來(lái)自于相似三角形的性質(zhì)．因此，在解題過(guò)程中善于發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．點(diǎn)擊此圖進(jìn)入課下作業(yè)部分