《巧構(gòu)妙求》+論文

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1、“巧”構(gòu)“妙”求山東王徳志數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的藝術(shù)，蘊含著豐富的美，而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕，能為數(shù)學(xué)問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。在解決某些數(shù)學(xué)問題時，通過對條件和結(jié)論充分細(xì)致地分析，抓住問題的特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，在已知與未知Z間建立起一個優(yōu)美的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱Z為構(gòu)造法。構(gòu)造法是一種針對具體的問題的特點而采取相應(yīng)的解決辦法，沒冇固定的模式可以套用，其基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來研究另一類問題的思維方法。一、構(gòu)造圖形以兒何元

2、索或者兒何背景建立起來的概念，比如向雖、復(fù)數(shù)、解析兒何等是用代數(shù)的方法研究兒何的知識,是數(shù)形結(jié)合的集中體現(xiàn).根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征通過構(gòu)造相關(guān)圖形，轉(zhuǎn)化為肓線的斜率、截距、距離等平面幾何屮的有關(guān)問題求解，通過構(gòu)造圖形去解決數(shù)學(xué)問題，充分體現(xiàn)了一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合法。“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中的兩個最基本的概念，它們是數(shù)學(xué)的兩人支柱。數(shù)量關(guān)系抽象、兒何圖形直觀。將這兩個既對立、又統(tǒng)一的概念巧妙地加以溝通，是研究、解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的方法。1?構(gòu)造斜率在一些問題屮，如果直接利用題口中給出的條件則無從下手，

3、且給出的形式是分式的形式，且分子分母都包含字母，即形如m=^-問題，不妨考慮利用原式的幾何意義——斜率求解。x-a例1y=2~Sin￥的最大值和最小值之和為?一2-cosx分析:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征可以想象經(jīng)過兩點的直線的斜率，而點(cosx,sinX)顯然在單位圓上，故可構(gòu)造圓，通過直線和圓的位置關(guān)系求解該題.解:取點A(2,2),P(cosx,sinx)，故y=-—也三表示A^P兩點連線的斜率k,而點P在圓%2+=1±,2一cosx如圖，當(dāng)直線AP與圓相切時，斜率k取得最值.直線AP的方程為y-2=k(x-2)

4、f即kx-y-2k^2=0f由點到直線的距離公式得號W,解得R二絲J1+/3故2-sinx的最人值為出療，最小值為上2一cosx33Q故該函數(shù)的最大值和最小值Z和為9?3點評:的三角函數(shù)的最值，可以根據(jù)解析式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造其幾何意義一一定點與動點連線的斜率來解決，然后確定動點的軌跡，結(jié)合軌跡的形狀利用數(shù)形結(jié)合靈活處理，可以輕松地找到思路，減少繁雜的運算.2.構(gòu)造截距在平面解析幾何屮，幾何圖形的性質(zhì)可通過對應(yīng)的方程,采用代數(shù)的方法來研究，而已知的方程或某些函數(shù)解析式也體現(xiàn)了形的性質(zhì)，因此通過構(gòu)造可以直觀的確定解題思

5、路。例2已知實數(shù)x^y滿足兀2+y2一4x+l=0,求y-X的最人值與最小值。分析：化x、y滿足的關(guān)系式為(x-2)2+y2=3表示以（2,0）為圓心，、療為半徑的圓，其中y-x可以看作是直線y=x+b在y軸上的截距，因此考慮構(gòu)造截距求解。解析：由y-?？梢钥醋魇侵本€y=x+b在y軸上的截距，所以當(dāng)直線與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時有憶_￡切=巧,解得b=-2土亦，所以y-x的最大值為—2+V6,最小值為-2-V6oV2點評：在求解與圓有關(guān)的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化

6、，將未知的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何問題，這種策略在解析幾何問題中常見，望引起同學(xué)們的注意。3.構(gòu)造距離所謂的構(gòu)造距離，就是在一些實際的問題中，可以結(jié)合兩點間的距離公式d=-兀2F+（）1—兒匸的構(gòu)成形式，巧妙的將一些類似的式了轉(zhuǎn)化構(gòu)造成距離的形式求解。x-y+1<0例3實數(shù)x、y滿足店>0,若z=/+）,2,求出z的取值范圍。）圧2因此需要畫出已知的線性規(guī)劃區(qū)分析：本題中z=x2+y2表示的是區(qū)域內(nèi)的點到原點的兩點距離的平方,域，利用區(qū)域內(nèi)滿足條件的的點求解。x-y+l<0解析：由｛?！?作出可行域如圖所示.

7、Z=/+y2表示可行域內(nèi)的任意一點與處標(biāo)原點的兩點間的距離的平方，因此x2+/的范圍為

8、OA

9、2（取不到），最大為OBf,由二解得A點坐標(biāo)為(0,1),所以

10、(9A

11、2=(V0+T)2=l,

12、OB

13、2=(Vl2+22)2=5,所以z的取值范圍是(1,5]o點評：本例中由x>0,故可行域內(nèi)y軸上的點不存在，所以最小值

14、04『不存在，本例與常規(guī)的線性規(guī)劃不同，主要是目標(biāo)函數(shù)不是直線形式，此類問題?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用代數(shù)式的幾何意義使得所求得的問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決此類問題的關(guān)鍵。二、構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)

15、學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的思想及英應(yīng)用滲透到數(shù)學(xué)的各個分支Z中。冇些數(shù)學(xué)題看起來似乎與函數(shù)毫不相干，但是根據(jù)題冃的特點，可以巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，架起兩者Z間的關(guān)系，利用函數(shù)的和關(guān)知識解決相關(guān)問題，如比較數(shù)的大小，證明不等式等，這也是函數(shù)思想在解決具體問題中的應(yīng)用.1?構(gòu)造函數(shù)比較大小例4已知x、ywR,且T+3V>2~y+3_x那么（）A、x+y<0B、x+y>0C、xy<0D