高考數(shù)學復習點撥 巧構(gòu)距離妙解題

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1、巧構(gòu)距離妙解題有些數(shù)學問題，若用常規(guī)方法求解，往往過程繁雜，難度較大，但若能抓住其結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造點到直線的距離求解，則能避繁就簡，出奇制勝．1．證明等式例1若，且．求證：．證明：由已知條件可知，點在直線上，原點到直線的距離不大于，即，整理，得，即．2．證明不等式例2求證：．分析：本題證法很多，可利用函數(shù)、平面幾何等方法．然而用解析幾何知識，通過構(gòu)造點到直線的距離及兩點間的距離證明既直觀又巧妙．證明：設(shè)直線，則原點與直線上任一點的距離為．由垂線段最短知，此距離不小于原點到直線的距離，即．又，．．3．求函數(shù)最值例3已知滿

2、足，求的最小值．分析：本題是求二元函數(shù)的最小值問題，可以通過轉(zhuǎn)化，將其化為二次函數(shù)來求解，但如果我們運用點到直線的距離，則可使求解變得更巧妙．解：原式可化為，其幾何意義為兩點和間距離的平方，而點在直線上．由兩點間距離不小于到直線的距離，得，即．的最小值為．1．求取值范圍例4已知，求的取值范圍．解：由，得．令，則點在直線上．到直線的距離．由，得．，，即．通過以上幾何可以看出：在求某些代數(shù)問題時，如能聯(lián)系兩點距與點線距的關(guān)系，則會使問題變得直觀簡捷，不失為一神“巧思妙解”．