高考數(shù)學復(fù)習點撥 巧用圓心妙解題

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1、巧用圓心妙解題圓是解析幾何的基本圖形之一，它既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．在解決與圓有關(guān)的問題時，善于抓住圓心，可使問題迅速得到解決．1．最值問題例1已知，求的最大值與最小值．解：將已知方程配方，得，圓心，半徑．，原點在圓外．．又表示圓上動點到坐標原點距離的平方，的最大值為，的最小值為．點評：若點是圓外一點，則該點與圓上點的最大距離為，最小距離為；若點在圓內(nèi)，則該點與圓上點的最大距離為，最小距離為．例2已知圓，點在圓上，求點到直線的最大距離和最小距離，并求最近點的坐標．解：將已知方程配方，得，　　　①圓心，半徑，圓心到直線的距離

2、，直線與已知圓相離，點到直線最大距離為，到直線最小距離為．過與垂直的直線方程是，　　　?、诼?lián)立①，②，解得或（舍去）則點為圓上與直線最近的點．點評：當直線與圓相離時，圓上的點到直線最大距離為，最小距離為；當直線與圓相交時，圓上的點到直線最大距離為，最小距離為0（其中為圓心到直線的距離，為圓的半徑）．1．對稱問題例3求與圓關(guān)于直線成軸對稱的圓的方程．分析：圓關(guān)于直線對稱的曲線仍是圓，且兩圓大小相等，只是兩圓圓心位置不同，因此，此類問題可化歸為點關(guān)于直線的對稱點問題來解決．解：將已知圓的方程配方，得，圓心，半徑．設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則

3、　解得所求圓的方程為，即．點評：求解點（或曲線）關(guān)于直線的對稱問題時，還可利用代換法，比如本例，由，得代入已知圓的方程，得，化簡即得所求對稱圓的方程，即，該方法適合于求解客觀題型．2．判斷位置關(guān)系例4已知點是圓內(nèi)異于圓心的點，則直線與此圓的交點的個數(shù)為（　?。粒?個Ｂ．1個Ｃ．0個Ｄ．不能確定解析：點是圓內(nèi)異于圓心的點，，即，圓心到直線的距離，故直線與圓沒有交點，選（Ｃ）．點評：判斷點（或直線）與圓的位置關(guān)系時，常利用圓心到點（或直線）的距離與半徑大小進行比較，該方法簡捷方便．1．求參數(shù)的大小例5已知圓及直線，當直線被圓截得的弦長

4、為時，則（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：如右圖，依題意，圓心到直線的距離應(yīng)等于1，即，．，，選（Ｃ）．點評：在解與弦長有關(guān)的問題時，從圓的幾何性質(zhì)入手，運用垂徑定理可得弦長（為圓的半徑，為弦心距），從而使問題得以迅速解決．