關(guān)于報(bào)童問題的分析

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1、關(guān)于報(bào)童問題的分析摘要本文討論了單周期的隨即貯存模型——報(bào)童問題。通過運(yùn)用插值擬合等基本模型，運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值積分等背景知識，得出每天報(bào)紙需求量的概率分布，建立報(bào)童收益模型，以達(dá)到報(bào)童最大收益為目的，使報(bào)童每天的買進(jìn)量與需求量盡可能地吻合，以使損失最少，收益最大。在問題一屮，首先求岀概率分布/(廠)。再設(shè)定每天報(bào)紙的買進(jìn)量是定值，并將其代入建立好的報(bào)童收益模型屮求出平均收益最大值，得出/(r)=-,nMaxG(h)=33.7358n=200在問題二中，即將第一問中的概率分布/(門轉(zhuǎn)化為概率密度/?(r),在irmtlab工具箱子cftoo

2、l屮計(jì)算得出此時(shí)概率密度為正態(tài)分布，將問題一模型屮的求和轉(zhuǎn)化為積分，通過對目標(biāo)通過數(shù)值積分等手段得出報(bào)童每天不同買進(jìn)量下每天平(—190.1)2均收入，從而分析得出每天的最優(yōu)報(bào)紙進(jìn)貨量斤。其p(r)=e54.98,G(n)=672.84,n=207。關(guān)鍵詞隨即貯存，概率分布，概率密度，平均收益，數(shù)值積分1、問題重述1.1問題背景在實(shí)際生產(chǎn)生活過程中，經(jīng)常會遇到一些隨時(shí)間、地點(diǎn)、背景不同而發(fā)生變化的事物，例如報(bào)紙的銷售的問題。如杲報(bào)紙的銷售量小于需求量，則會給報(bào)童帶來缺貨損失，失去一部分潛在客戶，一部分報(bào)紙失銷（為簡化計(jì)算，在本模型中我們忽略缺貨損失

3、）；如果報(bào)紙的銷售量大于需求量，則會導(dǎo)致一部分報(bào)紙被退回報(bào)社，給報(bào)童造成一?部分退貨損失，減少盈利。所以在實(shí)際考慮屮，應(yīng)使報(bào)紙的購入量盡可能地吻合需求量，減少報(bào)童的損失，獲得更大的盈利。1.2報(bào)童獲利途徑報(bào)童以每份0.3元的價(jià)格買進(jìn)報(bào)紙，以0.5元的價(jià)格岀售。當(dāng)天銷售不岀去的報(bào)紙將以每份0.2元的價(jià)格退還報(bào)社。根據(jù)長期統(tǒng)計(jì)，假設(shè)已經(jīng)得到了159天報(bào)紙需求量的情況。對現(xiàn)冇數(shù)據(jù)分析，得出報(bào)童每天最佳買進(jìn)報(bào)紙量，使報(bào)童的平均總收入最大。1.3問題提出現(xiàn)在需用數(shù)學(xué)建模解決以下問題：問題1：若將據(jù)報(bào)紙需求量看作離散型分布，試根據(jù)給出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出報(bào)紙需求量的

4、分布律，并建立數(shù)學(xué)模型，確定報(bào)童每犬買進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，使報(bào)童的平均總收入最大？問題2：若將據(jù)報(bào)紙需求量看作連續(xù)型分布，試根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，進(jìn)行分布假設(shè)檢驗(yàn)，確定該報(bào)紙需求量的分布，并建立數(shù)學(xué)模型，確定報(bào)童每天買進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，使報(bào)童的平均總收入最大？2、模型假設(shè)（1）假設(shè)報(bào)童在以后的D子里需求量概率分布概率密度遵循這159天的規(guī)律（2）假設(shè)不考慮缺貨損失（3）假設(shè)報(bào)童進(jìn)報(bào)紙量達(dá)到一定數(shù)量后不會產(chǎn)生貯存等其他費(fèi)用（4）假設(shè)報(bào)童每天都能買進(jìn)計(jì)算出來的應(yīng)進(jìn)報(bào)紙量r3、符號說明報(bào)紙需求量f(r)報(bào)紙需求量概率密度（離散型）P(r)報(bào)紙需求量概率密度（連續(xù)型）

5、n毎天報(bào)紙買進(jìn)量gS)報(bào)童一犬的利潤收入Pxr/?時(shí)的概率為每天賣岀報(bào)紙量切每天退冋報(bào)紙量4、問題分析單周期隨機(jī)貯存在實(shí)際生產(chǎn)生活屮經(jīng)常遇到，單周期即只訂一次(缺時(shí)也不訂)，期后可處理余貨；隨機(jī)因素是需求和拖后時(shí)間，統(tǒng)計(jì)規(guī)律為歷史資料。報(bào)童問題模型的提出及最優(yōu)解決方案可以為類似問題提供借鑒之處。4.1問題一的分析問題一要求將報(bào)紙需求量看作離散型分布，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)求報(bào)紙需求量的分布律。當(dāng)數(shù)據(jù)是離散型的時(shí)候我們可以直接計(jì)算得出報(bào)紙需求量的分布律。根據(jù)計(jì)算出的分布律代入到建立的模型屮，經(jīng)求導(dǎo)等步驟后得出報(bào)童每天買進(jìn)報(bào)紙數(shù)量及最大平均

6、總收入。4?2問題二的分析問題二要求將報(bào)紙需求量看作連續(xù)型分布。因統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為歷史資料，因而只能得出歷史條件下的概率密度。在問題一的模型基礎(chǔ)上我們需將題口屮給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，數(shù)據(jù)擬合得出概率密度p(r),將求和轉(zhuǎn)化為積分，同樣利用求導(dǎo)等手段求出最優(yōu)解。模型的建立與求解5.1問題一的模型建立與求解5.1.1計(jì)算口)因該組數(shù)據(jù)為離散型分布：159天報(bào)紙需求量情況需求量廠100120140160180200220240260280天數(shù)3913223235201582表1所以：f(r)=-①n計(jì)算結(jié)果如下表：報(bào)紙需求量概率分布表t10012()1401

7、60180200220240260280f(r)0.01890.05660.08180.13840.20130.22010」2580.09430.05030.0126表25.1.2計(jì)算目標(biāo)函數(shù)(1)當(dāng)天若需求量r小于供應(yīng)量川時(shí)，售出廠份，退IhJ(/?-r)份，報(bào)童收入為(0.5—0.3)廠—(0.3—0.2)(〃—廠)兀;(2)當(dāng)天若需求量廠大于供應(yīng)量料時(shí)，售出料份，退回0份，報(bào)童收入為(0.5-0.3)n元。f0.2r-0.1(?-r)rn根據(jù)①可得”00G(n)=工

8、(0.5-0.3)廠-(0.3-0.2)⑺

9、-r)]/(r)+工(0.5-0.3)"(廠)r=0r=/?+l=工[°?2廠一0.1(〃一r)]/(r)+0.2工nf(