勢(shì)阱中的粒子勢(shì)壘諧振子

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1、§18-8勢(shì)阱中的粒子勢(shì)壘諧振子1.一維無限深勢(shì)阱若質(zhì)量為m的粒子，在保守力場(chǎng)的作用下，被限制在一定的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)函數(shù)稱為勢(shì)阱。為了簡化計(jì)算，提出理想模型——無限深勢(shì)阱。一維無限深勢(shì)阱：a??保守力與勢(shì)能之間的關(guān)系：在勢(shì)阱邊界處，粒子要受到無限大、指向阱內(nèi)的力，表明粒子不能越出勢(shì)阱,即粒子在勢(shì)阱外的概率為0。勢(shì)阱內(nèi)的一維定態(tài)薛定諤方程為：解為：一維無限深勢(shì)阱由邊界條件得：據(jù)歸一化條件，得得波函數(shù)表達(dá)式：一維無限深勢(shì)阱(1)粒子能量不能取連續(xù)值得能量取分立值（能級(jí)），能量量子化是粒子處于束縛態(tài)的所具有的性質(zhì)。由討論：一維無限深勢(shì)阱（2）粒子的最小能量不等于零最小能量也稱為基態(tài)

2、能或零點(diǎn)能。零點(diǎn)能的存在與不確定度關(guān)系協(xié)調(diào)一致。一維無限深勢(shì)阱(3)粒子在勢(shì)阱內(nèi)出現(xiàn)概率密度分布不受外力的粒子在0到a范圍內(nèi)出現(xiàn)概率處處相等。量子論觀點(diǎn)：0a=1=2=3=4nnnn0a當(dāng)很大時(shí)，量子概率分布就接近經(jīng)典分布經(jīng)典觀點(diǎn)：一維無限深勢(shì)阱（4）有限深勢(shì)阱，粒子出現(xiàn)的概率分布如果勢(shì)阱不是無限深，粒子的能量又低于勢(shì)璧，粒子在阱外不遠(yuǎn)處出現(xiàn)的概率不為零。0a經(jīng)典理論無法解釋，實(shí)驗(yàn)得到證實(shí)。一維無限深勢(shì)阱得到兩相鄰能級(jí)的能量差例題18-15設(shè)想一電子在無限深勢(shì)阱，如果勢(shì)阱寬度分別為1.0×10-2m和10-10m。試討論這兩中情況下相鄰能級(jí)的能量差。解：根據(jù)勢(shì)阱中的能量公式當(dāng)a

3、=1cm時(shí)可見兩相鄰能級(jí)間的距離隨著量子數(shù)的增加而增加，而且與粒子的質(zhì)量m和勢(shì)阱的寬度a有關(guān)。一維無限深勢(shì)阱在這種情況下，相鄰能級(jí)間的距離是非常小的，我們可以把電子的能級(jí)看作是連續(xù)的。當(dāng)a=10-10m時(shí)在這種情況下，相鄰能級(jí)間的距離是非常大的，這時(shí)電子能量的量子化就明顯的表現(xiàn)出來。一維無限深勢(shì)阱可見能級(jí)的相對(duì)間隔隨著n的增加成反比地減小。當(dāng)時(shí)，較之要小的多。這時(shí)，能量的量子化效應(yīng)就不顯著了，可認(rèn)為能量是連續(xù)的，經(jīng)典圖樣和量子圖樣趨與一致。所以，經(jīng)典物理可以看作是量子物理中量子數(shù)時(shí)的極限情況。當(dāng)n>>1時(shí),能級(jí)的相對(duì)間隔近似為一維無限深勢(shì)阱例題18-16試求在一維無限深勢(shì)阱中粒

4、子概率密度的最大值的位置。解：一維無限深勢(shì)阱中粒子的概率密度為將上式對(duì)x求導(dǎo)一次，并令它等于零因?yàn)樵谮鍍?nèi)，即只有一維無限深勢(shì)阱于是由此解得最大值得位置為例如最大值位置最大值位置最大值位置可見，概率密度最大值的數(shù)目和量子數(shù)n相等。一維無限深勢(shì)阱這時(shí)最大值連成一片，峰狀結(jié)構(gòu)消失，概率分布成為均勻，與經(jīng)典理論的結(jié)論趨于一致。相鄰兩個(gè)最大值之間的距離如果阱寬a不變，當(dāng)時(shí)一維無限深勢(shì)阱2.一維勢(shì)壘隧道效應(yīng)一維方勢(shì)阱如圖ⅠⅡⅢ粒子沿方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)粒子可以通過勢(shì)壘。當(dāng)，實(shí)驗(yàn)證明粒子也能通過勢(shì)壘,這只有由量子力學(xué)的到解釋。設(shè)三個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別為在各區(qū)域薛定諤方程分別為令為實(shí)數(shù)一維勢(shì)壘解為：一維

5、勢(shì)壘三個(gè)區(qū)域中波函數(shù)的情況如圖所示：隧道效應(yīng)在粒子總能量低于勢(shì)壘壁高的情況下,粒子有一定的概率穿透勢(shì)壘.此現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。貫穿勢(shì)壘的概率定義為在處透射波的強(qiáng)度與入射波的強(qiáng)度之比：貫穿概率與勢(shì)壘的寬度與高度有關(guān)。一維勢(shì)壘掃描隧道顯微鏡(STM)原理：利用電子的隧道效應(yīng)。金屬樣品外表面有一層電子云，電子云的密度隨著與表面距離的增大呈指數(shù)形式衰減，將原子線度的極細(xì)的金屬探針靠近樣品，并在它們之間加上微小的電壓，其間就存在隧道電流，隧道電流對(duì)針尖與表面的距離及其敏感，如果控制隧道電流保持恒定，針尖的在垂直于樣品方向的變化，就反映出樣品表面情況。48個(gè)Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的

6、電子形成駐波。STM的橫向分辨率已達(dá)，縱向分辨達(dá),STM的出現(xiàn)，使人類第一次能夠適時(shí)地觀察單個(gè)原子在物質(zhì)表面上的排列狀態(tài)以及表面電子行為有關(guān)性質(zhì)。掃描隧道顯微鏡3.諧振子諧振子的勢(shì)能為薛定諤方程為其能量本征值為基態(tài)能(零點(diǎn)能)能級(jí)間隔一維諧振子的能級(jí)諧振子一維諧振子的能級(jí)諧振子