高等數(shù)學(xué)中極限探究及應(yīng)用

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1、高等數(shù)學(xué)中極限探究及應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中極限的研究和應(yīng)用一、極限的種類及其定義1.數(shù)列極限。假設(shè)｛an｝為一個數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)&epsilon；,總存在一個正整數(shù)N,使得當(dāng)n>；N時，總是有

2、an-a

3、<；&eps訂on；,則我們稱數(shù)列an收斂于a,記作an&rarr:a或liman=a（n&rarr；&infin；）,也稱數(shù)列an的極限是a。在數(shù)列極限定義中，&epsilon；是預(yù)先給定的常數(shù)，N是根據(jù)&epsilon；而求出來的，故有時會記作N=N（&eps訂on；）。&epsilon；具有二重性，既具有固定

4、性,又具有任意性，固定性是指&epsilon；是一個固定的很小的正數(shù)，任意性是指&epsilon；可以隨意小。當(dāng)&eps訂on；具有固定性可確定數(shù)列逼近的程度，具有任意小的性質(zhì)則可以刻畫出數(shù)列逼近的無限性。&epsilon；和N的關(guān)系：&epsilon；越小則N越大，且N不是唯一的，因為它是由an-a

5、&11；&epsi1on；決定的，由于&eps訂on；具有任意性，則N不唯一。故找到一個存在的N特別重要，一旦N的值確定了，則n就是比N大的任意自然數(shù)。打算找到N很不容易,可以通過適當(dāng)放大法和分步法來找到N。適當(dāng)放大法就是當(dāng)a

6、n-a

7、<；&epsiIon；較復(fù)雜時，得出n很不方便，此時，可以將

8、an-a

9、<；&eps訂on；放大，成為an~a

10、<；Al<；A2<；&hellip；<；&Epsilon；的形式，然后再通過化簡討論極限的證明問題就比較簡單了；而分步法是為方便解題，對N做一些限制，從而使AN-A

11、<；&Epsilon；化簡容易，此時一般都是假定N>；Nl(N1是常數(shù))，然后再對

12、an-a

13、<；H(N)進(jìn)行放大，通過解HN<；&Eps訂on；,得出N>；N2o取N=max{Nl,N2},則當(dāng)n&

14、gt；N是，會有

15、an-a

16、<；&epsilon；o論文代寫2?函數(shù)極限。設(shè)f是定義在區(qū)間［a,+&infin；)上的函數(shù)，A是一個常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)&epsilon；>；0,都存在一個大于或等于a的正數(shù)M,使得當(dāng)時有

17、F(X)-A

18、<；&Epsilon；,則我們就稱當(dāng)X趨于正無窮時，函數(shù)F的極限為A,記作LIMF(X)=A或F(X)&rarr；A,(X&rarr；&infin；)；函數(shù)極限與數(shù)列極限的定義很相似自然變量的變化趨勢相同，只是形態(tài)有所不同，數(shù)列極限中自然變量的形態(tài)為N,而函數(shù)極限中自然變量

19、的形態(tài)為XoN的取值是一切正整數(shù)，而X的取值是在一定的區(qū)間［A,+&infim)內(nèi)；N的增長是離散型的，而x的增長是連續(xù)型的。數(shù)列極限中的證明，正整數(shù)N是關(guān)鍵，而函數(shù)極限f(x)&rarr；A(x&rarr；&infin；)中的證明，正數(shù)M是關(guān)鍵。有時在證明的過程中，函數(shù)的極限可能不存在，此時可以利用反證法對其進(jìn)行證明，既可將復(fù)雜的問題簡單化，又可以加深對極限定義的理解。二""<；br=““>；3?—元函數(shù)極限。設(shè)函數(shù)f（x）在xO的空心鄰域UO（xO；&delta；）有定義，A是一個固定的數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)

20、&epsilon；,存在&delta；（O<；&delta；<；&delta；）使當(dāng)O<；

21、x~xO

22、<；&delta；時有

23、f（x）-A

24、<；&delta；,那么我們就稱當(dāng)X趨于xO時，函數(shù)f的極限為A,記作limf（x）二A或f（x）&rarr；A（x&rarr；x0）o函數(shù)極限是在數(shù)列極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，當(dāng)函數(shù)的自變量取自然數(shù)時，則就是數(shù)列極限。數(shù)列極限和函數(shù)極限的自變量都是&epsilon；,數(shù)列極限的因變量是N,而函數(shù)極限的因變量是&delta；o函數(shù)極限中的因變量&delta；由&epsi

25、lon；決定，其變化方向是一致的，當(dāng)&epsilon；變小時&delta；也越來越小。函數(shù)極限研究的是當(dāng)x趨向于正無窮、負(fù)無窮、特定數(shù)xO及從左和右兩個方向趨向于xO時，其值的變化趨勢。而數(shù)列極限研究的是n趨向于無窮時數(shù)列的變化趨勢。4?左、右函數(shù)極限。設(shè)函數(shù)f在xO的某個空心鄰域U+0（xO；&delta；）（U~0（xO；&delta；））有定義，A是一個固定的數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)&eps訂on；,存在一個數(shù)&delta；（O<；&delta；<；&delta；）,使得當(dāng)xO<；X<；XO+&Del

26、ta；（XO-&Delta；<；X<；XO）時，存在If（x）-A

27、&it；x,則我們就說當(dāng)函數(shù)由右（左）趨向于X0時，其極限是A,我們也稱A是其右(左)極限。記作LINF(X)=A(LIMF(X)=A)O<；br=a“>；函數(shù)f趨向于的xO左極限等于右極限，則其趨向于xO