小波變換課件 第1章 Haar小波

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1、第1章Haar小波分析1.1簡(jiǎn)介(近距離---小尺度）（高分辨率）(遠(yuǎn)距離---大尺度)（低分辨率）1.2平均與細(xì)節(jié)l設(shè)是一個(gè)信號(hào)序列。定義它的平均和細(xì)節(jié)：找出了、和、的關(guān)系。這里，是原信號(hào)前兩個(gè)值、的平均。又叫低頻成分，反映前兩個(gè)值、的基本特征或粗糙趨勢(shì)；反映了、的差別，即細(xì)節(jié)信息，又叫高頻成分。找出了、和、的關(guān)系。同樣，是原信號(hào)后兩個(gè)值、的平均，反映了、的細(xì)節(jié)。我們把看作是對(duì)實(shí)施了一次變換的結(jié)果。變換還可以往下進(jìn)行：==是對(duì)4個(gè)信號(hào)元素最終的平均，它是原信號(hào)最基本的信息；。經(jīng)過二次變換，我們得到了原信號(hào)的另一種表示：該序列叫做原序列的小波變換，叫做小波系數(shù)。還可以反過

2、來表示：這是用｛,｝來恢復(fù)原信號(hào)、；用｛,｝來恢復(fù)原信號(hào)、。也就是反變換。l小波變換過程的塔式算法：例如，＝｛3，1，－2，4｝最終的小波變換為=1.3尺度函數(shù)與小波函數(shù)(1)Haar尺度函數(shù)不壓縮：不位移位移一個(gè)單位位移k個(gè)單位壓縮1/倍，不位移壓縮1/倍，位移一個(gè)單位壓縮1/倍，移位K個(gè)單位一般，u幾個(gè)術(shù)語1）支撐（支集），（尺度）函數(shù)不為零的區(qū)間，上例中為。2）支撐的寬度，Haar尺度函數(shù)的寬度為。3）為分辨率，越大，尺度越小，分辨率越高。4）=為尺度。（分辨率越高，尺度越?。?2).Haar小波函數(shù)uHaar小波函數(shù)與尺度函數(shù)的關(guān)系v不平移、不壓縮；平移一個(gè)單位；

3、………平移K個(gè)單位。v不平移，壓縮1/倍；…先平移一個(gè)單位，再壓縮1/倍，…平移個(gè)K單位，再壓縮1/倍。uHaar小波函數(shù)的一般形式：=，位移k個(gè)單位，壓縮倍。(3).分段常數(shù)函數(shù)也可將序列看成分段常數(shù)序列。用尺度函數(shù)和小波函數(shù)描述分段常數(shù)函數(shù)++寫成=重寫++故得＝＋注釋：序列可由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的系數(shù)來表示，既為的小波變換（系數(shù)）。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

4、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1.5小波變換的計(jì)算¨設(shè)是長(zhǎng)度為（是大于1的整數(shù)）的離散序列，記為。函數(shù)展開為（1-20）將函數(shù)做一次小波分解，得（1-21）重復(fù)分解多次，可得在不同尺度下尺度函數(shù)和小波函數(shù)的展開式?！w一化尺度函數(shù)和小波函數(shù)歸一化又叫做標(biāo)準(zhǔn)化或規(guī)范化，計(jì)算方法如下：，（限制在橫軸0之間）=標(biāo)準(zhǔn)化尺度函數(shù)仍記為（1-22）同理，可得標(biāo)準(zhǔn)化Haar小波函數(shù)（1-23）u標(biāo)準(zhǔn)化二尺度方程（1-24，1-25）注釋：標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)的物理意義是，尺度函數(shù)和小波函數(shù)在不同分辨率下具有相同的能量，從而可推出信號(hào)進(jìn)行小波變換前、

5、后能量相等，既=+¨如何從快速計(jì)算小波變換系數(shù)：§重寫（1-21）式§現(xiàn)將式（1-21）二端在范圍內(nèi)對(duì)做內(nèi)積，得===(1-26)注釋：這里正交性保證了（1-26）式右邊只有一項(xiàng)內(nèi)積不為零；尺度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化保證了積分結(jié)果為1?！煸賹⑹剑?-20）,即代入（1-26）,左邊得==注釋：若設(shè)k=0，則=①所以，=②所以，==因此，=即§一般有，，=注釋：1）歸一化后，2）關(guān)于積分=§同理，有小波系數(shù)=1.7小波變換的濾波器組實(shí)現(xiàn)―――Mallat算法1.7.1離散序列的巻積已知序列做巻積的兩個(gè)序列的長(zhǎng)度不一定相等。1）由巻積公式求巻積：記為與巻積后得到的新序列，為第個(gè)元素，則

6、==［例1－1］={1,0.1,-1}m=2；={0.1，1，0.1，-1}k=3，求卷積和。①簡(jiǎn)便算法從下面序列最右邊一項(xiàng)開始，分別與上面序列各項(xiàng)相乘，直到下面序列最左邊一項(xiàng)完成同樣相乘，再按列相加。這種方法結(jié)果序列下標(biāo)是原兩序列下標(biāo)位的代數(shù)和確定的。利用這種方法，卷積和可一次計(jì)算出來，而且下標(biāo)確定簡(jiǎn)單。②用MATLAB實(shí)現(xiàn)：a=[0.1,1,0.1,-1];b=[1,0.1,-1];y=conv(a,b)ans=0.10001.01000.1000-1.9900-0.20001.0000③滑尺法兩序列0點(diǎn)對(duì)齊，計(jì)算對(duì)應(yīng)元素乘積并求和得y(0)；下列向右滑動(dòng)一位，再計(jì)算

7、各對(duì)應(yīng)元素乘積并求和，得y(1)；……直到所有n>0情況下對(duì)應(yīng)元素乘積再求和等于零為止?；氐絻尚蛄?點(diǎn)對(duì)齊位置，向左滑動(dòng)一位，計(jì)算各對(duì)應(yīng)元素乘積并求和得y(-1)；再向左滑動(dòng)一位，……,直到所有n<0情況下對(duì)應(yīng)元素乘積再求和等于零為止。這種方法最大優(yōu)點(diǎn)是結(jié)果的下標(biāo)確定直觀，但計(jì)算稍復(fù)雜。2）域中的巻積［例1－2］，=將序列中的每一項(xiàng)轉(zhuǎn)換為的多項(xiàng)式，得===所以，={3，8，1，-2}。1.7.2二通道濾波器組高頻成分(細(xì)節(jié))低頻成分(近似或概貌)受污染信號(hào)分析濾波器綜合濾波器¨虛線左：分析濾波器1)信號(hào)通過兩路互補(bǔ)對(duì)稱的濾波器