蒙特卡羅模擬6

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1、蒙特卡羅模擬蒙特卡羅(Monte－Carlo)模擬，又稱蒙特卡羅方法、統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法等.M－C模擬是靜態(tài)模擬，描述特定時(shí)間點(diǎn)上的系統(tǒng)行為.模擬過程中不出現(xiàn)時(shí)間參數(shù)?；舅枷?把隨機(jī)事件（變量）的概率特征與數(shù)學(xué)分析的解聯(lián)系起來.概率特征：隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等.用試驗(yàn)方法確定一.蒙特卡羅法計(jì)算定積分例7.3.1用M－C模擬求圓周率π的估計(jì)值.110設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在正方形內(nèi)服從均勻分布.(X,Y)落在圓內(nèi)的概率為:計(jì)算機(jī)上做n次擲點(diǎn)試驗(yàn)：產(chǎn)生n對(duì)二維隨機(jī)點(diǎn)(xi，yi)，i＝1,2,…,n.xi和yi是RN

2、D隨機(jī)數(shù)對(duì).檢查每對(duì)隨機(jī)數(shù)是否滿足:相當(dāng)于第i個(gè)隨機(jī)點(diǎn)落在1/4圓內(nèi).若有k個(gè)點(diǎn)落在l／4圓內(nèi)隨機(jī)事件“點(diǎn)落入1/4圓內(nèi)”的頻率為k/n根據(jù)概率論中的大數(shù)定律,事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件發(fā)生的概率p，即有得圓周率π的估計(jì)值為且當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí),其精度也隨之提高.分析：實(shí)際上概率值為恰為1/4圓的面積頻率法：利用隨機(jī)變量落進(jìn)指定區(qū)域內(nèi)的頻率來計(jì)算定積分.平均值法：利用隨機(jī)變量的平均值(數(shù)學(xué)期望)來計(jì)算定積分.平均值法的算法如下：產(chǎn)生RND隨機(jī)數(shù)：r1，r2，…，rn；（2）令ui=a＋(b－a)ri，i=1，2，…，n

3、；（3）計(jì)算作為I的估計(jì)值.原理分析：設(shè)隨機(jī)變量ζ1，ζ2，…，ζn相互獨(dú)立，且ζi～U(0,1){f(ξi)}，i=1，2，…，n相互獨(dú)立同分布由(強(qiáng))大數(shù)定律知以概率為1成立當(dāng)n足夠大時(shí)，得近似公式：注：平均值法本質(zhì)上是用樣本平均值作為總體教學(xué)期望的估計(jì)。二.蒙特卡羅模擬試驗(yàn)次數(shù)的確定M－C模擬是一種試驗(yàn)近似方法,試驗(yàn)次數(shù)如何確定？？希望：模擬次數(shù)較少、模擬精度較高頻率法的討論用事件A出現(xiàn)的頻率作為概率p的估計(jì):問題：試驗(yàn)次數(shù)n多大時(shí)，對(duì)給定的置信度1－α（0<α<1），估計(jì)精度達(dá)到ε.即問：取多大的n使成立？證明頻率

4、法是事件A出現(xiàn)的頻率作為概率p的估計(jì)答案：其中,zα是正態(tài)分布的臨界值.n次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)kn～B(n,p).由中心極限定理知平均值法在給定α和ε下所需的試驗(yàn)次數(shù)的估計(jì)式為查得正態(tài)分布的臨界值z(mì)α,可解得試驗(yàn)次數(shù)估計(jì)式的分析為估計(jì)概率p做模擬,卻又需要用p去估計(jì)模擬次數(shù)n.如何計(jì)算S2？解決方法：先做n0次模擬（稱為學(xué)習(xí)樣本)，根據(jù)學(xué)習(xí)樣本.（1）先求出p的估計(jì)，再估計(jì)模擬次數(shù)n:（2）計(jì)算出的樣本方差S2,用來估計(jì)n.2.M－C模擬的估計(jì)精度ε與試驗(yàn)次數(shù)n的平方根成反比,若精度ε提高10倍,則試驗(yàn)次數(shù)n要增大10

5、0倍.P197表8.2中列出了置信度為0.95時(shí),在不同精度ε及概率p條件下頻率法所需試驗(yàn)次數(shù)。對(duì)該表進(jìn)行分析，能得到什么結(jié)論？1.精度提高，試驗(yàn)次數(shù)大幅提高；2.事件發(fā)生概率越接近0.5，試驗(yàn)次數(shù)越高；例7.3.2核反應(yīng)堆屏蔽層設(shè)計(jì)問題核反應(yīng)堆屏蔽層是用一定厚度的鉛包圍反應(yīng)堆，用以阻擋或減弱反應(yīng)堆發(fā)出的各種射線.在各種射線中,中子對(duì)人體傷害極大，因此，在屏蔽層的設(shè)計(jì)中,了解中子穿透屏蔽層的概率對(duì)反應(yīng)堆的安全運(yùn)行至關(guān)重要.1.問題背景假定屏蔽層是理想的均勻平板一個(gè)中子進(jìn)入屏蔽層后運(yùn)動(dòng)的物理過程:中子以初速度v0和方向角α射

6、入屏蔽層,運(yùn)動(dòng)一段距離后與鉛核發(fā)生碰撞，中子獲得新的速度及方向(v1,θ1).再游動(dòng)一段距離后,與鉛核發(fā)生第二次碰撞,并獲得新的狀態(tài)(v2,θ2),如此等等,經(jīng)過若干次碰撞后,出現(xiàn)下述情況之一時(shí)中子終止運(yùn)動(dòng)過程三種狀態(tài)1）中子被彈回反應(yīng)堆；為使屏蔽層的厚度達(dá)到安全設(shè)計(jì)要求,在計(jì)算機(jī)上對(duì)中子在屏蔽層的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行模擬2）中子穿透屏蔽層；3）第n次碰撞后,中子被屏蔽層吸收.D返回穿透吸收闡述中子的運(yùn)動(dòng)，為模擬做理論準(zhǔn)備2.簡化假設(shè)：*1假定屏蔽層平行板厚度為D=3d，其中d為兩次碰撞之間中子的平均游動(dòng)距離；*2假設(shè)在第10次碰

7、撞以后，中子速度下降到為某一很小數(shù)值而終止運(yùn)動(dòng)（被引收）.因每次碰撞后,中子因損失一部分能量而速度下降.*4中子經(jīng)碰撞后的彈射角θ～U(0,2π).思考：請(qǐng)仔細(xì)分析以上假設(shè)的合理性.*3假定中子在屏蔽層內(nèi)相繼兩次碰撞之間游動(dòng)的距離服從指數(shù)分布；3.中子運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述引進(jìn)變量：彈射角θi—第i次碰撞后中子的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正向的夾角.DD0xxiθixi—第i次碰撞后中子所處位置與屏蔽層內(nèi)壁的距離.Ri—中子在第i次碰撞前后的游動(dòng)距離.三個(gè)變量均為隨機(jī)變量中子在屏蔽層里隨機(jī)游動(dòng),第i次碰撞以后,按照它的位置坐標(biāo)xi，可能有以下

8、三種情況發(fā)生：（1）xi<0，中子返回反應(yīng)堆；（2）xi＞D，中子穿透屏蔽層；（3）0＜xi＜D，若i<10，中子在屏蔽層內(nèi)繼續(xù)運(yùn)動(dòng),若i=10中子被屏蔽層吸收.中子三狀態(tài)判別準(zhǔn)則經(jīng)過第i次碰撞，中子在屏蔽層內(nèi)的位置是xi=xi－1+Ricosθi，i=1，2，…，10，4.模擬過程(1)產(chǎn)生RND隨機(jī)