蒙特卡羅模擬6

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1、蒙特卡羅模擬蒙特卡羅(Monte－Carlo)模擬，又稱蒙特卡羅方法、統(tǒng)計試驗法等.M－C模擬是靜態(tài)模擬，描述特定時間點上的系統(tǒng)行為.模擬過程中不出現(xiàn)時間參數(shù)?；舅枷?把隨機事件（變量）的概率特征與數(shù)學分析的解聯(lián)系起來.概率特征：隨機事件的概率和隨機變量的數(shù)學期望等.用試驗方法確定一.蒙特卡羅法計算定積分例7.3.1用M－C模擬求圓周率π的估計值.110設(shè)二維隨機變量(X,Y)在正方形內(nèi)服從均勻分布.(X,Y)落在圓內(nèi)的概率為:計算機上做n次擲點試驗：產(chǎn)生n對二維隨機點(xi，yi)，i＝1,2,…,n.xi和yi是RN

2、D隨機數(shù)對.檢查每對隨機數(shù)是否滿足:相當于第i個隨機點落在1/4圓內(nèi).若有k個點落在l／4圓內(nèi)隨機事件“點落入1/4圓內(nèi)”的頻率為k/n根據(jù)概率論中的大數(shù)定律,事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件發(fā)生的概率p，即有得圓周率π的估計值為且當試驗次數(shù)足夠大時,其精度也隨之提高.分析：實際上概率值為恰為1/4圓的面積頻率法：利用隨機變量落進指定區(qū)域內(nèi)的頻率來計算定積分.平均值法：利用隨機變量的平均值(數(shù)學期望)來計算定積分.平均值法的算法如下：產(chǎn)生RND隨機數(shù)：r1，r2，…，rn；（2）令ui=a＋(b－a)ri，i=1，2，…，n

3、；（3）計算作為I的估計值.原理分析：設(shè)隨機變量ζ1，ζ2，…，ζn相互獨立，且ζi～U(0,1){f(ξi)}，i=1，2，…，n相互獨立同分布由(強)大數(shù)定律知以概率為1成立當n足夠大時，得近似公式：注：平均值法本質(zhì)上是用樣本平均值作為總體教學期望的估計。二.蒙特卡羅模擬試驗次數(shù)的確定M－C模擬是一種試驗近似方法,試驗次數(shù)如何確定？？希望：模擬次數(shù)較少、模擬精度較高頻率法的討論用事件A出現(xiàn)的頻率作為概率p的估計:問題：試驗次數(shù)n多大時，對給定的置信度1－α（0<α<1），估計精度達到ε.即問：取多大的n使成立？證明頻率

4、法是事件A出現(xiàn)的頻率作為概率p的估計答案：其中,zα是正態(tài)分布的臨界值.n次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)kn～B(n,p).由中心極限定理知平均值法在給定α和ε下所需的試驗次數(shù)的估計式為查得正態(tài)分布的臨界值zα,可解得試驗次數(shù)估計式的分析為估計概率p做模擬,卻又需要用p去估計模擬次數(shù)n.如何計算S2？解決方法：先做n0次模擬（稱為學習樣本)，根據(jù)學習樣本.（1）先求出p的估計，再估計模擬次數(shù)n:（2）計算出的樣本方差S2,用來估計n.2.M－C模擬的估計精度ε與試驗次數(shù)n的平方根成反比,若精度ε提高10倍,則試驗次數(shù)n要增大10

5、0倍.P197表8.2中列出了置信度為0.95時,在不同精度ε及概率p條件下頻率法所需試驗次數(shù)。對該表進行分析，能得到什么結(jié)論？1.精度提高，試驗次數(shù)大幅提高；2.事件發(fā)生概率越接近0.5，試驗次數(shù)越高；例7.3.2核反應(yīng)堆屏蔽層設(shè)計問題核反應(yīng)堆屏蔽層是用一定厚度的鉛包圍反應(yīng)堆，用以阻擋或減弱反應(yīng)堆發(fā)出的各種射線.在各種射線中,中子對人體傷害極大，因此，在屏蔽層的設(shè)計中,了解中子穿透屏蔽層的概率對反應(yīng)堆的安全運行至關(guān)重要.1.問題背景假定屏蔽層是理想的均勻平板一個中子進入屏蔽層后運動的物理過程:中子以初速度v0和方向角α射

6、入屏蔽層,運動一段距離后與鉛核發(fā)生碰撞，中子獲得新的速度及方向(v1,θ1).再游動一段距離后,與鉛核發(fā)生第二次碰撞,并獲得新的狀態(tài)(v2,θ2),如此等等,經(jīng)過若干次碰撞后,出現(xiàn)下述情況之一時中子終止運動過程三種狀態(tài)1）中子被彈回反應(yīng)堆；為使屏蔽層的厚度達到安全設(shè)計要求,在計算機上對中子在屏蔽層的運動過程進行模擬2）中子穿透屏蔽層；3）第n次碰撞后,中子被屏蔽層吸收.D返回穿透吸收闡述中子的運動，為模擬做理論準備2.簡化假設(shè)：*1假定屏蔽層平行板厚度為D=3d，其中d為兩次碰撞之間中子的平均游動距離；*2假設(shè)在第10次碰

7、撞以后，中子速度下降到為某一很小數(shù)值而終止運動（被引收）.因每次碰撞后,中子因損失一部分能量而速度下降.*4中子經(jīng)碰撞后的彈射角θ～U(0,2π).思考：請仔細分析以上假設(shè)的合理性.*3假定中子在屏蔽層內(nèi)相繼兩次碰撞之間游動的距離服從指數(shù)分布；3.中子運動的數(shù)學描述引進變量：彈射角θi—第i次碰撞后中子的運動方向與x軸正向的夾角.DD0xxiθixi—第i次碰撞后中子所處位置與屏蔽層內(nèi)壁的距離.Ri—中子在第i次碰撞前后的游動距離.三個變量均為隨機變量中子在屏蔽層里隨機游動,第i次碰撞以后,按照它的位置坐標xi，可能有以下

8、三種情況發(fā)生：（1）xi<0，中子返回反應(yīng)堆；（2）xi＞D，中子穿透屏蔽層；（3）0＜xi＜D，若i<10，中子在屏蔽層內(nèi)繼續(xù)運動,若i=10中子被屏蔽層吸收.中子三狀態(tài)判別準則經(jīng)過第i次碰撞，中子在屏蔽層內(nèi)的位置是xi=xi－1+Ricosθi，i=1，2，…，10，4.模擬過程(1)產(chǎn)生RND隨機