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《高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.4.2空間圖形的公理（二）學(xué)案北師大版必修2》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、4.2 空間圖形的公理(二)學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握公理4及等角定理(重點(diǎn))；2.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角(重、難點(diǎn)).知識(shí)點(diǎn)一 公理4文字語(yǔ)言平行于同一條直線的兩條直線平行符號(hào)語(yǔ)言?a∥b圖形語(yǔ)言【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 (正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)公理4在平面內(nèi)和空間中均成立.(√)(2)多條直線平行于同一條直線，則這些直線互相平行.(√)知識(shí)點(diǎn)二 空間等角定理1.定理文字語(yǔ)言空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號(hào)語(yǔ)言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′
2、?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語(yǔ)言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】 (正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行.(×)(2)如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.(√)(3)如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角互補(bǔ).(×)知識(shí)點(diǎn)三 異面直線所成的角1.概念：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作
3、直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角.2.異面直線所成的角θ的取值范圍：0°＜θ≤90°.3.如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.12兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b.4.異面直線所成的角的求法方法一 在空間任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別作a′∥a，b′∥b，則a′與b′所成的銳角(或直角)為異面直線a與b所成的角，然后通過(guò)解三角形等方法求角.方法二 在其中一條直線上任取一點(diǎn)(如在b上任取一點(diǎn))O，過(guò)點(diǎn)O作另一條直線的平行線(如過(guò)點(diǎn)O作a′∥a)，則兩條直
4、線相交所成的銳角(或直角)為異面直線所成的角(如b與a′所成的角)，然后通過(guò)解三角形等方法求角(如圖).【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】(1)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？提示 (1)不一定.可能相交、平行或異面.(2)在長(zhǎng)方體A1B1C1D1－ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”，與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等？提示 相等.題型一 公理4與等角定理的應(yīng)用【例1】 E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形.證明 設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連
5、接EQ，QC1.因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，所以EQ綊A1D1.又因?yàn)樵诰匦蜛1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1.所以四邊形EQC1B1為平行四邊形.所以B1E綊C1Q.又因?yàn)镼，F(xiàn)分別是矩形DD1C1C兩邊D1D，C1C的中點(diǎn)，所以QD綊C1F.所以四邊形DQC1F為平行四邊形.12所以C1Q綊FD.又因?yàn)锽1E綊C1Q，所以B1E綊FD.所以四邊形B1EDF為平行四邊形.規(guī)律方法 (1)空間兩條直線平行的證明：一是定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角
6、形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.(2)求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.【訓(xùn)練1】 在空間四邊形ABCD中，如圖所示，＝，＝，則EH與FG的位置關(guān)系是________.解析 連接BD，如圖.∵＝，∴EH∥BD，又∵＝，∴FG∥BD，∴EH∥FG.答案 平行題型二 異面直線的判斷【例2】 如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中.哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？解 由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′
7、所在直線分別與直線BA′是異面直線.規(guī)律方法 判斷兩直線是否為異面直線，只需判斷它們是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是異面直線.【訓(xùn)練2】 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；12(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________.解析 序號(hào)結(jié)論理由(1)平行因?yàn)锳1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1為平行四
8、邊形，所以A1B∥D1C(2)異面A1B與B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)異面AB與B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)答案 (1)平行 (2)異面 (3)相交 (4)異面【探究1】 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線BA1與CC
