函數(shù)單調性的判斷、證明和單調區(qū)間的求法

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1、第06講：函數(shù)的單調性的判斷、證明和單調區(qū)間的求法【考綱要求】理解函數(shù)的單調性、最大值、最小值及其幾何意義。【基礎知識】區(qū)間具有嚴格的單調性，區(qū)間叫做的單調區(qū)間。否則都叫函數(shù)不具有嚴格的單調性。3、判斷證明函數(shù)單調性的一般方法：單調四法，導數(shù)定義復合圖像（1）定義法用定義法證明函數(shù)的單調性的一般步驟是①取值，設，且；②作差，求；③變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負符號；⑤根據(jù)函數(shù)單調性的定義下結論。（2）復合函數(shù)分析法設，，都是單調函數(shù)，則在上也是單調函數(shù)，其單調性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減性相同，復合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減

2、性相反，復合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：設在某個區(qū)間內有導數(shù)，若在區(qū)間內，總有，則在區(qū)間上為增函數(shù)（減函數(shù)）。（4）圖像法一般通過已知條件作出函數(shù)圖像的草圖，如果函數(shù)的圖像，在某個區(qū)間，從左到右，逐漸上升，則函數(shù)在這個區(qū)間是增函數(shù)；如果從左到右，是逐漸下降，則函數(shù)是減函數(shù)。4、求函數(shù)的單調區(qū)間：單調四法，導數(shù)定義復合圖像（1）定義法（2）復合函數(shù)法先求函數(shù)的定義域，再分解復合函數(shù)，再判斷每一個內層函數(shù)的單調性，最后根據(jù)復合函數(shù)的單調性確定函數(shù)的單調性。（3）導數(shù)法在其對稱區(qū)間上的單調性相減，如函數(shù)。（2）在公共的定義域內，增函數(shù)+增函數(shù)是增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)是減函數(shù)。其他的

3、如增函數(shù)增函數(shù)不一定是增函數(shù)，函數(shù)和函數(shù)都是增函數(shù)，但是它們的乘積函數(shù)不是增函數(shù)。（3）求函數(shù)的單調區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域，即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原則”。（4）單調區(qū)間必須用區(qū)間來表示，不能用集合或不等式，單調區(qū)間一般寫成開區(qū)間，不必考慮端點問題。（5）在多個單調區(qū)間之間不能用“或”和“”連接，只能用逗號隔開。【方法講評】例1證明函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。解：設，函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。例2求函數(shù)的單調區(qū)間．[來源:學科網(wǎng)]解：∵函數(shù)的定義域為{x

4、x∈R，且x≠0}，設x1、x2≠0，且x1

5、1＜x2時，x1－x2<0，x1·x2>a2，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是減函數(shù)．例3已知函數(shù)的定義域是的一切實數(shù)，對定義域內的任意，都有，且當時，（1）求證是偶函數(shù)；（2）在上時增函數(shù)；（3）解不等式解：【變式演練2】已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若時，有。（1）解不等式（2）若對所有恒成立，求實

6、數(shù)的取值范圍。例4已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調性；（II）設.如果對任意，，求的取值范圍。解：（Ⅰ）的定義域為（0，+∞）..當時，＞0，故在（0，+∞）單調增加；當時，＜0，故在（0，+∞）單調減少；當-1＜＜0時，令=0，解得.則當時，＞0；時，＜0.故在單調增加，在單調減少.（Ⅱ）不妨假設，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）單調減少，從而，等價于，①令，則①等價于在（0，+∞）單調減少，即.從而故a的取值范圍為（-∞，-2].(Ⅰ)當時，討論的單調性；（Ⅱ）設當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.例5設函數(shù)，，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值。+0-0+單調遞增單調遞減

7、單調遞增【點評】對于三角函數(shù)也可以利用求導的方法求函數(shù)的單調區(qū)間?！咀兪窖菥?】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A,B及CD的中點P處，已知AB=20km,CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A,B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO,BO,OP，設排污管道的總長為km．（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關系式：①設∠BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關系式；②設OP(km)，將表示成x的函數(shù)關系式．（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．例6（1）求函數(shù)的單

8、調區(qū)間；（2）已知若試確定的單調區(qū)間和單調性。解：（1）函數(shù)的定義域為，設，在上分別是單調遞減和單調遞增的，在上是單調遞減的，根據(jù)復合函數(shù)的單調性得函數(shù)在上分別單調遞增、單調遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域為R，分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調遞減的，上單調遞增；而在上分別是單調遞增和單調遞減的。且，根據(jù)復合函數(shù)的單調性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為。解法二：，，令，得或，令，或∴單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為。(1)求ω；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到