函數(shù)單調(diào)性的判斷、證明和單調(diào)區(qū)間的求法.doc

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1、第06講：函數(shù)的單調(diào)性的判斷、證明和單調(diào)區(qū)間的求法【考綱要求】理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義?！净A(chǔ)知識(shí)】區(qū)間具有嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間。否則都叫函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性。3、判斷證明函數(shù)單調(diào)性的一般方法：?jiǎn)握{(diào)四法，導(dǎo)數(shù)定義復(fù)合圖像（1）定義法用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是①取值，設(shè)，且；②作差，求；③變形（合并同類項(xiàng)、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負(fù)符號(hào)；⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義下結(jié)論。（2）復(fù)合函數(shù)分析法設(shè)，，都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來(lái)確定，即“里外”

2、函數(shù)增減性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表：設(shè)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)，總有，則在區(qū)間上為增函數(shù)（減函數(shù)）。（4）圖像法一般通過(guò)已知條件作出函數(shù)圖像的草圖，如果函數(shù)的圖像，在某個(gè)區(qū)間，從左到右，逐漸上升，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；如果從左到右，是逐漸下降，則函數(shù)是減函數(shù)。4、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)四法，導(dǎo)數(shù)定義復(fù)合圖像（1）定義法（2）復(fù)合函數(shù)法先求函數(shù)的定義域，再分解復(fù)合函數(shù)，再判斷每一個(gè)內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性。（3）導(dǎo)數(shù)法在其對(duì)稱區(qū)

3、間上的單調(diào)性相減，如函數(shù)。（2）在公共的定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)是增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)是減函數(shù)。其他的如增函數(shù)增函數(shù)不一定是增函數(shù)，函數(shù)和函數(shù)都是增函數(shù)，但是它們的乘積函數(shù)不是增函數(shù)。（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域，即遵循“函數(shù)問(wèn)題定義域優(yōu)先的原則”。（4）單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來(lái)表示，不能用集合或不等式，單調(diào)區(qū)間一般寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間，不必考慮端點(diǎn)問(wèn)題。（5）在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用“或”和“”連接，只能用逗號(hào)隔開(kāi)?！痉椒ㄖv評(píng)】例1證明函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。解：設(shè)，函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)。例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．[來(lái)源:

4、學(xué)科網(wǎng)]解：∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x

5、x∈R，且x≠0}，設(shè)x1、x2≠0，且x1a2，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是減函數(shù)．例3已知函數(shù)

6、的定義域是的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意，都有，且當(dāng)時(shí)，（1）求證是偶函數(shù)；（2）在上時(shí)增函數(shù)；（3）解不等式解：【變式演練2】已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若時(shí)，有。（1）解不等式（2）若對(duì)所有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例4已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè).如果對(duì)任意，，求的取值范圍。解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，+∞）..當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；當(dāng)-1＜＜0時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（Ⅱ）不妨假設(shè)，而＜-1，由（Ⅰ）

7、知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而，等價(jià)于，①令，則①等價(jià)于在（0，+∞）單調(diào)減少，即.從而故a的取值范圍為（-∞，-2].(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.例5設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于三角函數(shù)也可以利用求導(dǎo)的方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪窖菥?】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km,CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A,B與等距離的一

8、點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km．（Ⅰ）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：①設(shè)∠BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)OP(km)，將表示成x的函數(shù)關(guān)系式．（Ⅱ）請(qǐng)你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短．例6（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的，在上是單調(diào)遞減的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，

9、分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：，，令，得或，令，或∴單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。(1)求ω；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到