慣性張量的物理意義經(jīng)典.pdf

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1、慣性張量的物理意義上海海運(yùn)學(xué)院洪國雄一。·,,,,卜?！ぬ拐獞T性張圣是較難理解的概念本文用較清晰的藝帆腸知、,物理思路詳細(xì)討論,由式與定軸轉(zhuǎn)動的情況比較見相當(dāng)于慣了慣性張?jiān)榈奈锢硪饬x并對慣性討積作較深入的分析同時討論了慣性張童與轉(zhuǎn)動慣量性的物理量沱是由九個分量構(gòu)成的張量,稱它為慣性張,的區(qū)別和聯(lián)系量因此從整體的角度來看表示剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣性的量值,,在力學(xué)中慣性張量的物理意義對初學(xué)者往往感以上我們是從動量矩引人憤性張量這樣比有的,教尸引人慣性張量顯得較自然,到不容易理解在一般教材中對慣性張量物理意義的材用轉(zhuǎn)動慣量丁,因此在教學(xué)中如何闡明它的物理意義,討論又較簡單容易理解從動量矩

2、來討論慣性張量也是深人理解是值得探討的問題慣性張量物理意義的基礎(chǔ)下面我們首先簡略地回顧慣性張量的引人,就整二、慣性張與轉(zhuǎn)動慣且的區(qū)別和聯(lián)系體的角度說明它的物理意義,并討論慣性張量與轉(zhuǎn)動,慣量的區(qū)別和聯(lián)系在這基礎(chǔ)上我們再較深人地分析在討論慣性張量各分量的物理意義之前,我們先慣性張量各分量的物理意義簡單地討論一下慣性張量與轉(zhuǎn)動慣量的區(qū)別和聯(lián)系與了雖然都是表示剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小,但它們慣性張,的引入之間有一定的差別首先,轉(zhuǎn)動慣量是指定軸轉(zhuǎn)動時我們知道,在剛體定軸轉(zhuǎn)動時,剛體在轉(zhuǎn)動軸上的慣性大小而慣性張量是指定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時的慣性大的動量矩和動能分別為,,當(dāng)轉(zhuǎn)軸取定后,它是一個常數(shù)而對小其次

3、對,,一。,、一當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動的定點(diǎn)取定時由于通過該點(diǎn)可以建立許合、,所多坐標(biāo)系以的分量還與所取坐標(biāo)系有關(guān)在某,,與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動相比較我們把稱為轉(zhuǎn)動慣量它表示點(diǎn)取定的坐標(biāo)系上各分量的大小是一定的,但在同一剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性的大小點(diǎn)的不同坐標(biāo)系上各分量相應(yīng)的值就不同了,它們滿,在剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時剛體的動量矩為足張量的變換關(guān)系可,以證明在有的坐標(biāo)系中的表乙叭弓徹火弓示較,只有對角元素,藝簡單這時的坐標(biāo)軸稱為慣性主軸另外,是一常數(shù),動量矩的方向與角速度的方向一致寫成矩陣形式為而是二階張量,動量矩的方向一般與角速度的方向了、眾氣乓、不一致一由于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動包括了瞬時定軸轉(zhuǎn)動,因此了與有一,一‘一己定內(nèi)

4、在聯(lián)系應(yīng)該可以由慣趴時幻藝那藝那性張量來求得轉(zhuǎn)動慣量如一,‘十藝哪藝時對毛柳,圖所示若剛體對點(diǎn)的一‘一,藝哪藝哪從討對慣性張量為某,瞬時它」繞以角速度叨轉(zhuǎn)動,口軸的單位矢量為一,,,簡寫成田設(shè)應(yīng)依,則在而剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的動能為軸上的分量··‘,‘‘···凡藝藝如‘扁扁。二該從吻,卜這就是定軸轉(zhuǎn)動時。,與吻的關(guān)系,所以剛勾寸口材一凡這里負(fù)號表示名軸的轉(zhuǎn)動慣量為,卜在軸引起的動量矩沿月了、尸、言儼,·、軍凡腸探幾,、、,尸口以、夕、、的負(fù)方向這也說明了為什么慣性積出現(xiàn)負(fù)號,而要一由氣找出它的轉(zhuǎn)動慣性,應(yīng),把它化成角速度的表示式可見若已知及扁就可以由式求得對軸圖,二,如用外來表示烏那么

5、由圖可見一外有,的轉(zhuǎn)動慣量可以證明·一·外‘二與一哆獻(xiàn)藝玲如癱味,、,按定軸轉(zhuǎn)動來看與外都是同一方向上的分量所以顯然表示質(zhì)點(diǎn)繞軸的轉(zhuǎn)動慣量但如用低來表三、恨性張各分的物理意義。示幾,情況又如何呢設(shè)圖是表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動在,,,平可見二而,二先討論慣性張量的對角元素設(shè)剛體定軸轉(zhuǎn)動的面上的投影嘰籠,,它的方向命,,所以朽少田得軸為坐標(biāo)系的軸,由式求得一產(chǎn)二一惻叭剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為對式,如不考慮式中與田的下標(biāo),那么濘少義’‘腸‘可以看成是轉(zhuǎn)動慣性的大小但在定軸轉(zhuǎn)動中,與田一人“應(yīng)是,“”卜相同的分量下標(biāo)它的系數(shù)才是轉(zhuǎn)動慣量咖,“幾,式而式中氣是用姚來表示的,因此柳一二一藝時為不能稱它為

6、轉(zhuǎn)動慣量,另給它起個名稱,稱為慣性積同理可求得這就是引人慣性積的原因伽,都用對應(yīng)分量雌表示,一一倉沙吞今藝就不會出現(xiàn)慣性積的問題由上面分析,對慣性積沖歲義人幾二藝叭子對這物理。二“,量可以這樣理解當(dāng)用來表示氣時。它可見的對角元素是反映對軸表現(xiàn)的慣性大小用慣性積”砂無來表示其它慣了剛體對坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量性積的意義也可類似地進(jìn)行討論對的非對角元素這從式可見,慣性積具有對稱性如式中第一些元素稱為慣性積,它的個方程中柳是與外相乘,而第二個方程中柳是意義是什么呢與低相乘,因此對啊聲尤慣性積可以有二種看法當(dāng)它,為簡單起見我們由一特例來討論考慮特殊的剛與叭相乘時,柳表示剛體繞軸的動量矩用姚表

7、,,體—質(zhì)點(diǎn)的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動如圖所示設(shè)質(zhì)點(diǎn)在垂示時對應(yīng)的慣性大小當(dāng)它與外相乘時,娜表示剛直于軸平面上繞軸以叭轉(zhuǎn)動首先考慮對定點(diǎn)體繞軸的動量矩用外表示時對應(yīng)的慣性大小因此,口的動量矩由于,,即質(zhì)點(diǎn)的速度叭柳稱為對軸和軸的慣性積,一,,,“,一叭鄉(xiāng)時總之我們可以這樣說當(dāng)用峙份,聲其中咋對口點(diǎn)的動量矩為咋,其分量為表示時,它的“慣性項(xiàng)”稱為慣性積當(dāng)‘用助表示時,標(biāo)標(biāo)標(biāo)丫它的“慣性項(xiàng)”稱為轉(zhuǎn)動慣量由于剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時,它,中表示對‘軸的量矩其余意義相似而對每,淇標(biāo)矽一坐標(biāo)軸以及坐標(biāo)軸間都表現(xiàn)出一定慣性所以對