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《慣性張量》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，又稱慣性距、慣性矩（俗稱慣性力距、慣性力矩，易與力矩混淆），通常以I表示，SI單位為kg*m2，可說是一個物體對于旋轉(zhuǎn)運動的慣性。對于一個質(zhì)點，I=mr2，其中m是其質(zhì)量，r是質(zhì)點和轉(zhuǎn)軸的垂直距離。對于一個有多個質(zhì)點的系統(tǒng)，。若該系統(tǒng)由剛體組成，可以用無限個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量和，即用積分計算其轉(zhuǎn)動慣量。如果一個質(zhì)量為m的物件，以某條經(jīng)過A點的直線為軸，其轉(zhuǎn)動慣量為IA。在空間取點B，使得AB垂直于原本的軸。那么如果以經(jīng)過B、平行于原本的軸的直線為軸，AB的距離為d，則IB=IA+md2。力距在直線運動，F(xiàn)=ma。在旋轉(zhuǎn)運動，則有τ=Iα，其中
2、τ是力矩，α是角加速度。動能一般物件的動能是。將速度v和質(zhì)量m，用轉(zhuǎn)動力學的定義取代：得出，簡化得。如果一個人坐在一張可轉(zhuǎn)動的椅子，雙手拿重物，張開雙手，轉(zhuǎn)動椅子，然后突然將手縮到胸前，轉(zhuǎn)動的速度將突然增加，因為轉(zhuǎn)動慣量減少了。慣性張量對于三維空間中任意一參考點Q與以此參考點為原點的直角座標系Qxyz，一個剛體的慣性張量是。(1)這里，對角元素、、分別為對于x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設(shè)定為微小質(zhì)量對于點Q的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為，，(2)。而非對角元素，稱為慣性積,可以定義為，，(3)。導引圖A如圖A，一個剛體對于質(zhì)心G與以
3、點G為原點的直角座標系Gxyz的角動量定義為。這里，代表微小質(zhì)量在Gxyz座標系的位置，代表微小質(zhì)量的速度。因為速度是角速度叉積位置，所以，。計算x-軸分量，相似地計算y-軸與z-軸分量，角動量為，，。如果，我們用方程式(1)設(shè)定對于質(zhì)心G的慣性張量，讓角速度為，那么，。(4)平行軸定理平行軸定理能夠很簡易的，從對于一個以質(zhì)心為原點的座標系統(tǒng)的慣性張量，轉(zhuǎn)換至另外一個平行的座標系統(tǒng)。假若已知剛體對于質(zhì)心G的慣性張量，而質(zhì)心G的位置是，則剛體對于原點O的慣性張量，依照平行軸定理，可以表述為，，(5)，，，(6)。證明：圖Ba)參考圖B，讓、分別為微小質(zhì)量對質(zhì)
4、心G與原點O的相對位置：，。依照方程式(2)，。所以，相似地，可以求得、的方程式。b)依照方程式(3)，。。因為，，所以相似地，可以求得對于點O的其他慣性積方程式。對于任意軸的慣性矩圖C參視圖C，設(shè)定點O為直角座標系的原點，點Q為三維空間里任意一點，Q不等于O。思考一個剛體，對于OQ-軸的慣性矩是。這里，是微小質(zhì)量離OQ-軸的垂直距離，是沿著OQ-軸的單位向量，是微小質(zhì)量的位置。展開叉積，。稍微加以編排，特別注意，從方程式(2)、(3)，這些積分項目，分別是剛體對于x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩與慣性積。因此，。(7)如果已經(jīng)知道，剛體對于直角座標系的三個
5、座標軸，x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。那么，對于OQ-軸的慣性矩，可以用此方程式求得。主慣性矩因為慣性張量是個實值的三維對稱矩陣，我們可以用對角線化，將慣性積變?yōu)榱?，使慣性張量成為一個對角矩陣[1]。所得到的三個特征值必是實值；三個特征向量必定互相正交。我們需要求解。(8)或者，。展開行列式，可以得到一個三次方程式。方程式的三個根、、都是正的，實值的特征值。將特征值代入方程式(8)，再加上方向余弦方程式，，我們可以求到特征向量、、。這些特征向量都是剛體的慣量主軸；而這些特征值則分別是剛體對于慣量主軸的主慣性矩。假設(shè)x-軸、y-軸、z-軸分別為一個剛體的慣
6、量主軸，這剛體的主慣性矩分別為、、，角速度是。那么，角動量為。動能剛體的動能可以定義為，這里，是剛體質(zhì)心的速度，是微小質(zhì)量相對于質(zhì)心的速度。在方程式里，等號右邊第一個項目是剛體平移運動的動能，第二個項目是剛體旋轉(zhuǎn)運動的動能。由于這旋轉(zhuǎn)運動是繞著質(zhì)心轉(zhuǎn)動的，。這里，是微小質(zhì)量繞著質(zhì)心的角速度，是對于質(zhì)心的相對位置。因此，?；蛘?，。所以(9)假設(shè)x-軸、y-軸、z-軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主慣性矩分別為、、，角速度是。那么，剛體的動能為。(10)
