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《常微分方程期末復(fù)習(xí)提綱.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第一章：緒論定義1:聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.一、常微分方程與偏微分方程如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程.如果在一個微分方程中,自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上,稱為偏微分方程.二、微分方程的階定義2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).n階微分方程的一般形式為三線性和非線性1.如果方程不是線性方程的方程稱為非線性方程2.n階線性微分方程的一般形式四微分方程的解定義31顯式解與隱式解相應(yīng)定義4所定義的解為方程
2、的一個顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.2特解與通解定義5如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.n階微分方程通解的一般形式為定義4：在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解.注1:3定解條件為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題.常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個條件:當定解條件是初始條件時,相應(yīng)的
3、定解問題稱為初值問題.五積分曲線和方向場1積分曲線一階微分方程稱為微分方程的積分曲線.2方向場在方向場中,方向相同的點的幾何軌跡稱為等斜線.所規(guī)定的方向場.第二章一階微分方程的初等解法定義1形如方程,稱為變量分離方程.§2.1變量分離方程與變量變換一、變量分離方程的求解這樣變量就“分離”開了.二、可化為變量分離方程類型（I）齊次方程(I)形如方程稱為齊次方程,求解方法:(II)形如的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.這就是變量分離方程作變量代換(坐標變換)則方程
4、化為為(1)的情形,可化為變量分離方程求解.解的步驟:注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.此外,諸如§2.2線性方程與常數(shù)變易法一階線性微分方程一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)形如的方程,稱為伯努利方程.解法:§2.3恰當方程與積分因子一、恰當方程的定義及條件如果我們恰好碰見了方程就可以馬上寫出它的隱式解定義1則稱微分方程是恰當方程.如是恰當方程.1恰當方程的定義需考慮的問題(1)方程(1)是否為恰當方程?(2)若(1)是恰當方程,怎樣求解?(
5、3)若(1)不是恰當方程,有無可能轉(zhuǎn)化為恰當方程求解?2方程為恰當方程的充要條件定理1為恰當方程的充要條件是二、恰當方程的求解1不定積分法2分組湊微法采用“分項組合”的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項分出來,再把余的項湊成全微分.---應(yīng)熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分.如三、積分因子非恰當方程如何求解?對變量分離方程:不是恰當方程.是恰當方程.對一階線性方程:不是恰當方程.則是恰當方程.可見,對一些非恰當方程,乘上一個因子后,可變?yōu)榍‘敺匠?1定義2積分因子的確定變成即此時求得積分因子3定理微分方程§2.4一階隱方程與參數(shù)
6、表示一階隱式方程求解—采用引進參數(shù)的辦法使其變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的方程類型.主要研究以下四種類型1形如方程的解法,(I)若求得(4)的通解形式為將它代入(3),即得原方程(2)的通解(II)若求得(4)的通解形式為則得(2)的參數(shù)形式的通解為(III)若求得(4)的通解形式為則得(2)的參數(shù)形式的通解為2形如方程的解法,若求得(10)的通解形式為則得(9)的參數(shù)形式的通解為1形如方程的解法,即滿足:兩邊積分得于是得到原方程參數(shù)形式的通解為解的步驟:“關(guān)鍵一步也是最困難一步”2形如方程的解法,解的步驟:“關(guān)鍵一步也是最困難一
7、步”第三章一階微分方程的解的存在定理§3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法一存在唯一性定理1定理1考慮初值問題命題1初值問題(3.1)等價于積分方程命題2命題3命題4命題5二近似計算和誤差估計求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,這里例1討論初值問題解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超解由于由(3.19)§3.2解的延拓1飽和解及飽和區(qū)間定義12局部李普希茨(Lipschitz)條件定義23解的延拓定理定理:§3.3解對初值的連續(xù)性和可微性定理一解對初值的連續(xù)性定義設(shè)初值問題1.解對初值的連續(xù)
8、依賴性初值問題引理如果函數(shù)于某域D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為L），則對方程的任意兩個解及,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式.其中為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。2定理1(解對初值的連續(xù)依賴性定理)條件:I.在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部利普希茨條件;II.是(1)滿足的解,定義區(qū)間為[a,b].結(jié)論:對,使得當時,方程(1)過點的解在
