常微分方程期末復(fù)習(xí)

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1、1.求下列方程的通解。.解：方程可化為　　　　令，得　　　　由一階線性方程的求解公式，得　　　　所以原方程為：＝2.求下列方程的通解。.解：設(shè)，則有，從而　，故方程的解為，另外也是方程的解.3.求方程通過的第三次近似解.解：　　　　　　　　　　　　4.求解下列常系數(shù)線性方程。解：對應(yīng)的特征方程為：，.解得　　　　所以方程的通解為：5.求解下列常系數(shù)線性方程。解：齊線性方程的特征方程為，解得，故齊線性方程的基本解組為：，因為是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解為6.試求下列線性方程組的奇點，并通過變換將奇點變?yōu)樵c，

2、進一步判斷奇點的類型及穩(wěn)定性：解：解得　所以奇點為（　經(jīng)變換，　　　　方程組化為　因為又　所以，故奇點為穩(wěn)定焦點，所對應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的。7.設(shè)為方程（Ａ為常數(shù)矩陣）的標準基解矩陣（即，證明其中為某一值證明：為方程的基解矩陣為一非奇異常數(shù)矩陣，所以也是方程的基解矩陣，且也是方程　的基解矩陣，.且都滿足初始條件，所以即命題得證。8.求方程的通解解：積分因子兩邊同乘以后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：兩邊積分得：得：因此方程的通解為：9.求方程的通解解：令則得：那么.因此方程的通解為：10.求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估

3、計解：，，解的存在區(qū)間為即令又誤差估計為：11.求方程的通解解：.是方程的特征值，設(shè)得：則得：.因此方程的通解為：12.試求方程組的解解：得取得取則基解矩陣因此方程的通解為：13.試求線性方程組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性解：（1，3）是奇點令，那么由可得：因此（1，3）是穩(wěn)定中心14.證明題：如果是滿足初始條件的解，那么證明：由定理8可知又因為所以又因為矩陣所以即命題得證。15.求下列方程的通解解：因為，所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子，兩邊同乘得所以解為即另外y=0也是解16.求下列方程的通解解：線性方程的特征方程故特征根是特征單

4、根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解為17.若試求方程組的解并求expAt解：解得此時k=1由公式expAt=得18.求下列方程的通解解：方程可化為令則有（*）（*）兩邊對y求導(dǎo)：即由得即將y代入（*）即方程的含參數(shù)形式的通解為：p為參數(shù)又由得代入（*）得：也是方程的解19.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解解：20.求的奇點,并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性解：由解得奇點（3，-2）令X=x-3,Y=y+2則因為=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）為穩(wěn)定焦點。21.證明題：階齊線性

5、方程一定存在個線性無關(guān)解證明：由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解：考慮從而是線性無關(guān)的。22.求解方程：=解：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以23.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0解：，令z=x+y則所以–z+3ln

6、z+1

7、=x+，ln=x+z+.即24.討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解解：設(shè)f(x,y)=,則故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)，因而方程在

8、這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，顯然，是通過點（0，0）的一個解；又由解得，

9、y

10、=所以，通過點（0，0）的一切解為及

11、y

12、=25.求解常系數(shù)線性方程：解：(1)齊次方程的通解為x=(2)不是特征根，故取代入方程比較系數(shù)得A=，B=-于是通解為x=+26.試求方程組的一個基解矩陣，并計算解：det()=所以，設(shè)對應(yīng)的特征向量為由取所以，=27.試討論方程組（1）的奇點類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。解：因為方程組（1）是二階線性駐定方程組，且滿足條件，故奇點為原點（0，0）又由det(A-E)=得所以，方程組的奇點（0，0）可分

13、為以下類型：a，c為實數(shù)28.試證：如果滿足初始條件的解，那么證明：設(shè)的形式為=（1）（C為待定的常向量）則由初始條件得=又=所以，C==代入（1）得=即命題得證。29.求解方程解：因為　　又因為　　所以方程有積分因子：u(x)=方程兩邊同乘以得：［也即方程的解為?。?0.求解方程解：令，，則　　即　　從而　　又　　　?。健　」试匠痰耐ń鉃椤　　　　為參數(shù)31.求解方程解：齊線性方程的特征方程為　　故齊線性方程的一個基本解組為，，　　因為不是特征方程的特征根　　所以原方有形如＝的特解　　將＝代入原方程，比較t的同次冪系數(shù)得：　　　　故有解之

14、得：，　　所以原方程的解為：　　　32.求方程經(jīng)過（0，0）的第三次近似解.解：　　.　　　　　　　　　　?。?3.試求：的基解矩陣解：記A=,又得，