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1、5.6線性空間的同構教學目的：1.理解線性空間同構的概念、性質及重要意義。2.掌握有限維線性空間同構的充要條件。教學重點：線性空間同構的定義及基本性質。教學難點：線性空間同構的意義.一、線性空間同構的定義1.定義1設和是數(shù)域上的兩個線性空間，是到的一個映射，如果滿足：（1）是到的雙射；（2）有；（3），有.則稱是到的同構映射.如果到的同構映射存在,則稱與同構,記為≌.2.一個基本結論定理5.6.1數(shù)域上任意維線性空間都與同構.證明:設是一個維線性空間,取定的一個基,,關于基的坐標為.令顯然是到的一個雙射.,,設,,則==;=.從而是到的同構映射,因此≌.二、同構映射的基本性質定理5.
2、6.2設是線性空間到的同構映射,則:(1);(2)有;(3),,有;(4)中向量線性相關的充要條件是線性相關.注:設是線性空間到的同構映射,(1)是的一個基的充要條件是是的一個基;(2)的子空間在之下的象集是的子空間;(3)的子空間在之下的原象集是的子空間;(4)的逆映射是到的同構映射;(5)若是線性空間到的同構映射,則是到的同構映射.三、同構關系的性質線性空間的同構關系是等價關系,即具有:反身性:≌.對稱性:若≌,則≌.傳遞性:若≌,≌,則≌.四、線性空間的同構的一個充要條件定理5.6.3數(shù)域上兩個有限維線性空間同構的充要條件是它們有相同的維數(shù).注:在線性空間的抽象討論中,我們不考
3、慮線性空間的元素是什么,也不考慮其中運算是怎樣定義的,而只涉及線性空間在所定義的運算下的代數(shù)性質.從這個觀點看來,同構的線性空間是可以不加區(qū)別的.從而定理5.6.3說明了維數(shù)是有限維線性空間的惟一的本質特征.
