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《歐式空間的同構(gòu)正交變換課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、一、歐氏空間的同構(gòu)§9.3同構(gòu)二、同構(gòu)的基本性質(zhì)一、歐氏空間的同構(gòu)定義：實(shí)數(shù)域R上歐氏空間V與V'稱為同構(gòu)的，如果由V到V'有一個(gè)雙射,滿足這樣的映射 稱為歐氏空間V到V'的同構(gòu)映射.1、若 是歐氏空間V到V'的同構(gòu)映射，則 也是線性空間V到V'同構(gòu)映射.2、如果 是有限維歐氏空間V到V'的同構(gòu)映射，則3、任一 維歐氏空間V必與 同構(gòu).二、同構(gòu)的基本性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)正交基，證：設(shè)V為 維歐氏空間， 為V的一組在這組基下，V中每個(gè)向量 可表成作對(duì)應(yīng)易證 是V到 的雙射.且 滿足同構(gòu)定義中條件1）、2）、3），故 為由V到 的同
2、構(gòu)映射，從而V與 同構(gòu).①反身性；②對(duì)稱性；③傳遞性.4、同構(gòu)作為歐氏空間之間的關(guān)系具有：①單位變換 是歐氏空間V到自身的同構(gòu)映射.②若歐氏空間V到V'的同構(gòu)映射是 ，則 是其次，對(duì) 有事實(shí)上，首先是線性空間的同構(gòu)映射.歐氏空間V'到V的同構(gòu)映射.為歐氏空間V'到V的同構(gòu)映射.③若 分別是歐氏空間V到V'、V'到V"的同構(gòu)映射，則 是歐氏空間V到V"的同構(gòu)映射.事實(shí)上，首先， 是線性空間V到V"的同構(gòu)映射.其次，對(duì) 有為歐氏空間V到V"的同構(gòu)映射.5、兩個(gè)有限維歐氏空間V與V'同構(gòu)一、一般歐氏空間中的正
3、交變換§9.4正交變換二、n維歐氏空間中的正交變換一、一般歐氏空間中的正交變換1.定義即，歐氏空間V的線性變換如果保持向量的內(nèi)積不變，則稱為正交變換.注：歐氏空間中的正交變換是幾何空間中保持長(zhǎng)度不變的正交變換的推廣.2.歐氏空間中的正交變換的刻劃下述命題是等價(jià)的：（定理4）設(shè) 是歐氏空間V的一個(gè)線性變換.3）保持向量間的距離不變，即2）保持向量長(zhǎng)度不變，即1）是正交變換；證明：首先證明1)與2)等價(jià)．即，兩邊開方得，若 是正交變換，則有，(1)(2)若 保持向量長(zhǎng)度不變，則對(duì)把(3)展開得，再由(1)(2)即得，(3)是正交
4、變換．再證明2)與3)等價(jià)．根據(jù)２)故3）成立.若則有，即，故2）成立.二、n維歐氏空間中的正交變換1.維歐氏空間中的正交變換是保持標(biāo)準(zhǔn)正交基不變的線性變換．是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基.1).若是維歐氏空間V的正交變換，事實(shí)上，由正交變換的定義及標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)即有，2).若線性變換使V的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成變換．標(biāo)準(zhǔn)正交基 ，則為V的正交證明：任取 設(shè)由 為標(biāo)準(zhǔn)正交基，有故是正交變換．又由于 為標(biāo)準(zhǔn)正交基，得2.維歐氏空間V中的線性變換 是正交變換在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣．設(shè)為V的標(biāo)
5、準(zhǔn)正交基，且證明：的標(biāo)準(zhǔn)正交基，當(dāng)是正交變換時(shí)，由1知，也是V而由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基 的過渡矩陣是正交矩陣.設(shè)為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且再由1即得 為正交變換．由于當(dāng)A是正交矩陣時(shí)，也是V的即，標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，A是正交矩陣．3.歐氏空間V的正交變換是V到自身的同構(gòu)映射．因而有1）正交變換的逆變換是正交變換；（由同構(gòu)的對(duì)稱性可得之）2）正交變換的乘積還是正交變換．（由同構(gòu)的傳遞性可得之）4.維歐氏空間中正交變換的分類：設(shè) 維歐氏空間V中的線性變換 在標(biāo)準(zhǔn)正交基1）如果 則稱 為第一類的（旋轉(zhuǎn)）;2）如果 則稱 為第二
6、類的．下的矩陣是正交矩陣A，則例、在歐氏空間中任取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基定義線性變換 為：則 為第二類的正交變換，也稱之為鏡面反射．
