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1、線性方程組的求解本節(jié)先將二階、三階線性方程組的Cramer法則推廣到n階線性方程組；然后介紹求解一般線性方程組的Gauss消元法及相應(yīng)的初等行變換。非齊次與齊次線性方程組設(shè)含n個(gè)變量、由n個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.注：齊次線性方程組，主要關(guān)注它是否有非零解，如何求出全部非零解；非齊次線性方程組，則是它何時(shí)有解，如何求解。一、Cramer法則1.定理1.2：如果由含n個(gè)變量、n個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即則線性方程組(1)有唯一解其中Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即證
2、明:先證明(2)是(1)的解；再證明解唯一。將行列式Dj按第j列展開：將代入(1)的第i個(gè)方程左邊，得將代入(1)的第i個(gè)方程左邊，得代入Dj提出bj展開定理所以(2)滿足(1)的每個(gè)方程，是(1)的解。對(duì)(1)的任意一組解用D中第j列元素的代數(shù)余子式，依次乘方程組(1)的n個(gè)方程，得是解將n個(gè)方程依次相加，并提出，得根據(jù)展開定理及其推論，得即方程組(1)的任意一組解均可唯一表示為：解唯一例1.用Cramer法則解線性方程組解:2.推論1.4：如果齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式為零。說明(1).Cramer法則要求線性方程組滿足2個(gè)條件，一是方程個(gè)數(shù)等于變量個(gè)數(shù)；二是系數(shù)行列式非零
3、。說明(2).Cramer法則可以應(yīng)用求解齊次線性方程組。（用反證法證明）說明(3).推論1.4的等價(jià)命題：如果齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式非零，則方程組只有唯一零解。說明(4).可以證明，推論1.4的逆命題也成立，即如果系數(shù)行列式為零，則方程組(3)有非零解。例2.參數(shù)λ取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？解：首先計(jì)算方程組的系數(shù)行列式根據(jù)說明(4)，D=0時(shí)，齊次方程組有非零解。所以或時(shí)齊次方程組有非零解.注1：Cramer法則建立了線性方程組的解和它的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。對(duì)于階數(shù)較大的線性方程組，它需要很大的計(jì)算量，故Cramer法則主要用于理論推導(dǎo)。注2：Cramer法則用于求解
4、滿足(1)方程數(shù)=變量數(shù)(2)系數(shù)行列式非零的線性方程組。如果上面有一個(gè)條件不能滿足，就無(wú)法使用，對(duì)于一般的線性方程組問題，需要尋找新的求解方法。二、Gauss消元法由n個(gè)變量、m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組線性方程組(4)如果有解，稱為是相容的；如果沒有解，稱為是不相容的。線性方程組所有解構(gòu)成的集合稱為方程組的解集合；具有相同解集合的方程組稱為是同解的。消元法引例例3.求解線性方程組解：消元過程得到階梯形方程組，再回代求解，得方法小結(jié)：1.上述解方程組的方法稱為Gauss消元法，該方法理論上可以求任意線性方程組的解；2.對(duì)線性方程組進(jìn)行的消元過程，用到如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）以
5、非零數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上。（ 與 相互替換）（以 替換?。ㄒ浴 √鎿Q?。?.上述三種變換都是可逆的。對(duì)線性方程組進(jìn)行的這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的，故這三種變換是同解變換。在用Gauss消元法求解線性方程組的過程中，參與運(yùn)算的只是方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。為了更好地描述線性方程組的求解過程，需要引入新的工具。三、矩陣及其初等行變換1.矩陣定義由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為m×n階矩陣，其中aij稱為矩陣的元素。矩陣用大寫字母表示：實(shí)矩陣與復(fù)矩陣行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，稱為n階方陣或
6、n階矩陣；2.特殊矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣或行向量；只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量；例如是一個(gè)3階方陣。n維行矩陣n維列矩陣1×1階矩陣具有相同行數(shù)、列數(shù)的矩陣稱為同型矩陣；如果兩個(gè)矩陣是同型的，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也相同，則稱它們是相等的。3.矩陣相等4.線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣由n個(gè)變量、m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組系數(shù)矩陣增廣（系數(shù)）矩陣說明：Gauss消元法實(shí)際上只需要方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)參與運(yùn)算，即通過對(duì)增廣矩陣的操作就可以求解。類似方程組的初等變換，定義矩陣的初等行變換。下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:5.矩陣的初等行變換（1）交換矩陣兩行（交換i,j兩行，記為ri?r
7、j）；（2）用非零數(shù)乘矩陣某行（k乘i行，記為kri）；（3）矩陣某行乘以常數(shù)，再加到另一行（k乘j行后加到i行，記為ri+krj）。注：利用矩陣的初等行變換，Gauss消元法的求解過程，可以通過對(duì)增廣矩陣的初等行變換進(jìn)行。6.階梯形矩陣和簡(jiǎn)化階梯形矩陣滿足下列條件的矩陣A稱為階梯形矩陣（1）若A有零行(元素全為零的行)，則零行位于最下方;（2）非零行的非零首元(自左至右第一個(gè)不為零的元，稱為主元)列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增
