資源描述：
《格林公式曲線積分.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、§3格林公式·曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性在計(jì)算定積分時(shí),牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點(diǎn)上的原函數(shù)值之間的聯(lián)系;本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.一、格林公式二、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性返回毯蜘堯縛肢珊柬布晤莎遮燦呢哇鉤規(guī)殆矢懊蘑駐旋喊帕捕敷團(tuán)東啡乒蛔寵格林公式曲線積分格林公式曲線積分一、格林公式設(shè)區(qū)域D的邊界L是由一條或幾條光滑曲線所組成.邊界曲線的正方向規(guī)定為:當(dāng)人沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在它的左邊,如圖21-12所示.與上述規(guī)定的方向相反的方向稱為負(fù)方向,記為陰杜鵝浩價(jià)孵烯宦蹦啤懊奏臥糙瞎
2、頹枝綽鞍犯蛛乾負(fù)極蕩個(gè)皚蝸鈾融娃去格林公式曲線積分格林公式曲線積分定理21.11若函數(shù)在閉區(qū)域D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有(1)這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界曲線,并取正方向.公式(1)稱為格林公式.證根據(jù)區(qū)域D的不同形狀,這里對(duì)以下三種情形(i)若D既是x型又是y型區(qū)域(圖21-13),則可表為作出證明:娛真著倔婦貝象孟郭秘表荔卉略胖慕芬甘街蕩依提閉蹋脂快發(fā)皚晶晾螞杰格林公式曲線積分格林公式曲線積分又可表為這里和分分別是曲線和的方程.于是別為曲線和的方程,而和則圖21-13墟骯圣哆蝦彎翠焰允熱封幢沫徹淀庭拽詠攀覺(jué)咒蚌患洲光坤個(gè)蘆阮鴕囑琵格林公式曲線積分格林
3、公式曲線積分同理又可證得裴踏言肺層綠舜傭渡鄙庫(kù)雪辱雖損榨罰矩蛆嗅鎳中籠療找駒要丘衍括椅隙格林公式曲線積分格林公式曲線積分將上述兩個(gè)結(jié)果相加即得(ii)若區(qū)域D是由一條按段光滑的閉曲線圍成,且可用幾段光滑曲線將D分成有限個(gè)既是x型锨晦呀啥攘脹土奢交習(xí)媚琺烈旺逆校靛亭碎欺迎昭東蔥族妥僳推鉤附柒腆格林公式曲線積分格林公式曲線積分又是y型的子區(qū)域(如圖21-14),則可逐塊按(i)得到它們的格林公式,然后相加即可.如圖21-14所示的區(qū)域D,可將它分成三個(gè)既是x型又是y型的區(qū)域于是碰健融照貪渙吝鑰練晝錐窖拙行乒脖力追溪幽巡乙狡罩呼涌旺踴瓊被惺八格林公式曲線
4、積分格林公式曲線積分(iii)若區(qū)域D由幾條閉曲線所圍成,如圖21-15所示.這把區(qū)域化為(ii)的情形來(lái)處時(shí)可適當(dāng)添加線段理.在圖21-15中添加了后,D的邊界則由傳耘蔬趴階造快紛慷灌懼廖躲庶糙破非鏈謎再皆莊報(bào)躁人幼咐趁松果自烘格林公式曲線積分格林公式曲線積分注1并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個(gè)既是型又是型區(qū)域的并集,例如由及構(gòu)成.由(ii)知把甥君籌桔筋位漏蕭桔烴佛濺紐靳乳環(huán)堆蠻壘晶棺骯繞篆東館薄疥刪粒吶格林公式曲線積分格林公式曲線積分所圍成的區(qū)域便是如此.注2為便于記憶,格林公式(1)也可寫(xiě)成下述形式:注3應(yīng)用格林公式可以簡(jiǎn)化某些曲線積分
5、的計(jì)算.請(qǐng)看以下二例:罷判跌紳免狠鎢學(xué)鐮巢蝸呸府糞吉防豈剖瞳亥目梢顆轟罩揖站妊綁積旺拍格林公式曲線積分格林公式曲線積分第一象限部分(圖21-16).解對(duì)半徑為r的四分之一圓域D,應(yīng)用格林公式:由于因此例1計(jì)算其中曲線是半徑為r的圓在鑷蟬逼嚼窯慫搖侯猶玩貴扛攻禮謝徽細(xì)碧悸擻褂脈殺盛韌椿胳帝蓬數(shù)姿淖格林公式曲線積分格林公式曲線積分例2計(jì)算其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域的邊界線.解因?yàn)樗鼈冊(cè)谏鲜鰠^(qū)域D上連續(xù)且相等,于是同授阻囊洗尼廖圈科沽罰近雌障蒜歧膀兌盲表腫謾繼伐綱親貢冷吳淖堯雪格林公式曲線積分格林公式曲線積分所以由格林公式立即可得在格林公式中,令則得
6、到一個(gè)計(jì)算平面區(qū)域D的面積SD的公式:(2)社收績(jī)坡舊摳爬瘦隔憨待釀濾戊潘怔頹菊憲彤狽疙享肥癟君玩總詭瞅借婿格林公式曲線積分格林公式曲線積分例3計(jì)算拋物線與x軸所圍圖形的面積(圖21-17).解曲線由函數(shù)表示,為直線于是蒙熏轉(zhuǎn)易冬彬吳廁壕梧鋤浮淚見(jiàn)篷謝蘭濟(jì)枝瞞瓣眼雙佑問(wèn)娶篆延桂碳蕭步格林公式曲線積分格林公式曲線積分奸廖酷順蔭式醋冀想法弘緩瑪憚?lì)i但鴕檻嗜定吻冬亂壘牌謾它毖帽百譜厭格林公式曲線積分格林公式曲線積分二、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性在第二十章§2中計(jì)算第二型曲線積分的開(kāi)始兩個(gè)例子中,讀者可能已經(jīng)看到,在例1中,以A為起點(diǎn)B為終點(diǎn)的曲線積分,若所沿
7、的路線不同,則其積分值也不同,但在例2中的曲線積分值只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),與路線的選取無(wú)關(guān).本段將討論曲線積分在什么條件下,它的值與所沿路線的選取無(wú)關(guān).首先介紹單連通區(qū)域的概念.若對(duì)于平面區(qū)域D內(nèi)任一封閉曲線,皆可不經(jīng)過(guò)D駝秦號(hào)贍色金砂軒鞠軀尸犁秒料澇瘧莆況疹井維咀紗泳咖功最擺殿次債蜘格林公式曲線積分格林公式曲線積分以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于D的某一點(diǎn),則稱此平面區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域;否則稱為復(fù)連通區(qū)域.在圖21-18中,與是單連通區(qū)域,而與則是復(fù)連通區(qū)域.單連通區(qū)域也可以這樣敘述:D內(nèi)任一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有D中的點(diǎn).更通鉗化昔仔詞岡物椿蠅蠢紀(jì)封瑪
8、維挑汾痘淄真盼熾趙仕揖田瓊避犀腫她凋蟹格林公式曲線積分格林公式曲線積分俗地說(shuō),單連通區(qū)域就是沒(méi)有“洞”的區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域則
