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1、第2章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關(guān)系2.5序列的Z變換2.6利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性2.1引言我們知道信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻率分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號一般用連續(xù)變量時間t的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻率域進(jìn)行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。而在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用序列表示，其自變量僅取整
2、數(shù)，非整數(shù)時無定義，而系統(tǒng)則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具。其中傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換，它和模擬域中的傅里葉變換是不一樣的，但都是線性變換，很多性質(zhì)是類似的。本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號頻域特性。本章學(xué)習(xí)內(nèi)容是本書也是數(shù)字信號處理這一領(lǐng)域的基礎(chǔ)。2.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)2.2.1序列傅里葉變換的定義定義(2.2.1)為序列x(n)的傅里葉變換，可以用FT(FourierTransform)縮寫字母表示。FT成立的充分必要條件是序列x(n)
3、滿足絕對可和的條件，即滿足下式：(2.2.2)為求FT的反變換，用ejωn乘(2.2.1)式兩邊，并在-π~π內(nèi)對ω進(jìn)行積分，得到(2.2.3)(2.2.4)式中因此上式即是FT的逆變換。(2.2.1)和(2.2.4)式組成一對傅里葉變換公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要條件，如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，例如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來，這部分內(nèi)容在下面介紹。例2.2.1設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的FT解：(2.2.5)設(shè)N=4，幅度與相位隨ω變化曲線如圖2.2.1所示。
4、圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線2.2.2序列傅里葉變換的性質(zhì)1.FT的周期性在定義(2.2.1)式中，n取整數(shù)，因此下式成立M為整數(shù)(2.2.6)因此序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。這樣X(ejω)可以展成傅里葉級數(shù)，其實(shí)(2.2.1)式已經(jīng)是傅里葉級數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。圖2.2.2cosωn的波形2.線性那么設(shè)式中a,b為常數(shù)3.時移與頻移設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］，那么(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)4.FT的對稱性在學(xué)習(xí)FT的對稱性以前，先介紹什么是共軛對稱與共軛反
5、對稱以及它們的性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿足下式：xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)則稱xe(n)為共軛對稱序列。為研究共軛對稱序列具有什么性質(zhì)，將xe(n)用其實(shí)部與虛部表示xe(n)=xer(n)+jxei(n)將上式兩邊n用-n代替，并取共軛，得到x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)對比上面兩公式，左邊相等，因此得到xer(n)=xer(-n)(2.2.11)xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)由上面兩式得到共軛對稱序列其實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。類似地，可定義滿足下式的稱共軛反對稱
6、序列xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)將x0(n)表示成實(shí)部與虛部如下式：xo(n)=xor(n)+jxoi(n)可以得到xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)xoi(n)-xoi(-n)(2.2.15)即共軛反對稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。例2.2.2試分析x(n)=ejωn的對稱性解：將x(n)的n用-n代替，再取共軛得到：x*(-n)=ejωn因此x(n)=x*(-n)，滿足(2.2.10)式，x(n)是共軛對稱序列，如展成實(shí)部與虛部，得到x(n)=cosωn+jsinωn由上式表明，
7、共軛對稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。對于一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中xe(n),xo(n)可以分別用原序列x(n)求出，將(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共軛得到x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)利用(2.2.16)和(2.2.17)兩式，得到(2.2.18)(2.2.19)利用上面兩式，可以分別求出xe(n)和xo(n)。對于頻域函數(shù)X(ejω)也有和上面類似的概念和結(jié)論：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(e
8、jω)(2.2.10)式中Xe(ejω)與Xo(ejω)分別稱為共軛對稱部分和共軛反對稱部分，它們滿足Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2.2.21)Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2.2.22)同樣有下面公式滿足：(2.2.23)(2.2.24)(a)將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)x(n)=xr(n)+
