數(shù)字信號(hào)處理-時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)處理丁玉美第3章

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1、第三章自適應(yīng)數(shù)字濾波器3.1引言3.2自適應(yīng)橫向?yàn)V波器3.3自適應(yīng)格型濾波器3.4最小二乘自適應(yīng)濾波3.5自適應(yīng)濾波的應(yīng)用3.1引言自適應(yīng)數(shù)字濾波器和維納濾波器一樣，都是符合某種準(zhǔn)則的最佳濾波器。維納濾波器的參數(shù)是固定的，適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的最佳濾波，但要設(shè)計(jì)這種濾波器，必須要求輸入信號(hào)是平穩(wěn)的，且具有信號(hào)和噪聲統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的先驗(yàn)知識(shí)。在實(shí)際中，常常無(wú)法知道這些先驗(yàn)知識(shí)，且統(tǒng)計(jì)特性還會(huì)變化，因此實(shí)現(xiàn)最佳濾波是困難的。自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)是：濾波器的參數(shù)可以自動(dòng)地按照某種準(zhǔn)則調(diào)整到最佳濾波；實(shí)現(xiàn)時(shí)不需

2、要任何關(guān)于信號(hào)和噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，尤其當(dāng)輸入統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，自適應(yīng)濾波器都能調(diào)整自身的參數(shù)來(lái)滿足最佳濾波的需要。常常將這種輸入統(tǒng)計(jì)特性未知，調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過(guò)程稱為“學(xué)習(xí)過(guò)程”。將輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，調(diào)整自身的參數(shù)到最佳的過(guò)程稱為“跟蹤過(guò)程”，因此自適應(yīng)濾波器具有學(xué)習(xí)和跟蹤的性能。由于自適應(yīng)濾波器有這些特點(diǎn)，自1967年威德諾(B.Widrow)等人提出自適應(yīng)濾波器以來(lái)，在短短十幾年中，自適應(yīng)濾波器發(fā)展很快，已廣泛地用于系統(tǒng)模型識(shí)別，通信信道的自適應(yīng)均衡，雷達(dá)與聲納的波束形成，減少或消

3、除心電圖中的周期干擾，噪聲中信號(hào)的檢測(cè)、跟蹤、增強(qiáng)和線性預(yù)測(cè)等。3.2自適應(yīng)橫向?yàn)V波器自適應(yīng)濾波器的原理框圖如圖3.2.1所示，圖中x(n)稱為輸入信號(hào)，y(n)是輸出信號(hào)，d(n)稱為期望信號(hào)，或者稱為參考信號(hào)、訓(xùn)練信號(hào)，e(n)是誤差信號(hào)。其中e(n)=d(n)-y(n)自適應(yīng)濾波器H(z)的系數(shù)根據(jù)誤差信號(hào)，通過(guò)一定的自適應(yīng)算法，不斷地進(jìn)行改變，使輸出y(n)最接近期望信號(hào)d(n)。這里暫時(shí)假定d(n)是可以利用的，實(shí)際中，d(n)要根據(jù)具體情況進(jìn)行選取，能夠選到一個(gè)合適的信號(hào)作為期望信號(hào)，

4、是設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器的一項(xiàng)有創(chuàng)意的工作。如果真正的d(n)可以獲得，我們將不需要做任何自適應(yīng)濾波器。圖3.2.1自適應(yīng)濾波器原理圖3.2.1自適應(yīng)線性組合器和自適應(yīng)FIR濾波器1.自適應(yīng)濾波器的矩陣表示式圖3.2.2表示的是一個(gè)有N個(gè)權(quán)系數(shù)的自適應(yīng)線性組合器，圖中N個(gè)權(quán)系數(shù)w1,w2,…,wN受誤差信號(hào)ej的自適應(yīng)控制。對(duì)于固定的權(quán)系數(shù)，輸出yj是輸入信號(hào)x1j,x2j,…,xNj的線性組合，因此稱它為線性組合器。這里的x1j,x2j,…,xNj可以理解為是從N個(gè)不同的信號(hào)源到達(dá)的瞬時(shí)輸入，是一個(gè)

5、多輸入系統(tǒng)，也可以是同一個(gè)信號(hào)源的N個(gè)序貫樣本，如圖3.2.3所示。因此它是一個(gè)單輸入系統(tǒng)，實(shí)際上這種單輸入系統(tǒng)就是一個(gè)FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)是一個(gè)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器。其輸出y(n)用濾波器的單位脈沖相應(yīng)表示成下式：(3.2.1)圖3.2.2自適應(yīng)線性組合器圖3.2.3自適應(yīng)FIR濾波器這里w(n)稱為濾波器單位脈沖響應(yīng)，令：i=m+1,wi=w(i-1),xi=x(n-i+1)，n用j表示，上式可以寫成(3.2.2)這里wi也稱為濾波器加權(quán)系數(shù)。用上面公式表示其輸出，適合于自適應(yīng)線性組合器，也適合

6、于FIR濾波器。將上式表示成矩陣形式：(3.2.3)式中誤差信號(hào)表示為(3.2.4)2.利用均方誤差最小準(zhǔn)則求最佳權(quán)系數(shù)和最小均方誤差誤差信號(hào)被用來(lái)作為權(quán)系數(shù)的控制信號(hào)。下面采用均方誤差最小的準(zhǔn)則，求最佳權(quán)系數(shù)。由(3.2.4)式，均方誤差為(3.2.5)令(3.2.6)(3.2.7)將(3.2.6)、(3.2.7)式代入(3.2.5)式，得到(3.2.8)Rdx稱為dj與Xj的互相關(guān)矩陣，是一個(gè)N維列矩陣；Rxx是輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣，特點(diǎn)如下：(1)是對(duì)稱矩陣，即;(2)是正定或半正定的

7、，因?yàn)閷?duì)于任意矢量V滿足下式：自相關(guān)矩陣的主對(duì)角線是輸入信號(hào)的均方值，交叉項(xiàng)是輸入信號(hào)的自相關(guān)值。(3.2.8)式表明，當(dāng)輸入信號(hào)和期望信號(hào)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí)，均方誤差信號(hào)E［e2j］是權(quán)系數(shù)的二次函數(shù)，即將(3.2.8)式展開(kāi)時(shí)，公式中的權(quán)系數(shù)均以它的一次冪或二次冪出現(xiàn)。如果只有一個(gè)權(quán)系數(shù)w1,則E［e2j］是w1的口向上的拋物線；如果有兩個(gè)權(quán)系數(shù)w1w2,則E［ej2］是它們的口向上的拋物面；對(duì)于兩個(gè)權(quán)系數(shù)以上的情況，則屬于超拋物面性質(zhì)。E［ej2］在自適應(yīng)信號(hào)處理中是一個(gè)重要的函數(shù)，經(jīng)常稱它

8、為性能函數(shù)。為選擇權(quán)系數(shù)，使性能函數(shù)到達(dá)它的最小點(diǎn)，一些有用的自適應(yīng)方法都是基于梯度法的，我們用表示E［ej2］的梯度向量，它是用E［ej2］對(duì)每個(gè)權(quán)系數(shù)求微分而形成的一個(gè)列向量，用公式表示如下：(3.2.9)按照(3.2.4)式,梯度推導(dǎo)如下：(3.2.10)還可以用(3.2.8)式對(duì)W求導(dǎo)得到(3.2.11)令上式等于0,得到最佳權(quán)矢量W*的表達(dá)式：(3.2.12)對(duì)比第二章維納濾波器的最佳解，結(jié)果是一樣的。上式也稱為維納權(quán)矢量。當(dāng)自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)滿足上式時(shí)，均方誤差將取最