曲線上一點(diǎn)處的切線.ppt

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1、曲線上一點(diǎn)處的切線問(wèn)題情境：1.平均變化率的定義是什么？它的意義是什么？一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為f(x2)－f(x1)x2－x1問(wèn)題情境：2.平均變換率刻畫(huà)了曲線在某區(qū)間的陡峭程度.1.平均變化率量化了變化的快慢.試作出y=x2，y=x3，在區(qū)間的圖象，并分別求出它們?cè)趨^(qū)間[0,1]的平均變化率.問(wèn)題1：根據(jù)計(jì)算你有什么發(fā)現(xiàn)？2.用平均變化率來(lái)刻畫(huà)一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”.不能反映出曲線在每一點(diǎn)的變化趨勢(shì).問(wèn)題1：根據(jù)計(jì)算你有什么發(fā)現(xiàn)？3.它反映了曲線在某區(qū)間的整體變化趨勢(shì)，1.以直線的斜率代表了曲線的陡峭程度.問(wèn)題2：如何精確

2、地刻畫(huà)曲線上某點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢？重要思想：以直代曲通過(guò)放大點(diǎn)P附近的曲線，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)曲線在點(diǎn)P附近看上去幾乎成了直線.如果繼續(xù)放大，那么曲線在點(diǎn)P附近將逼近一條確定的直線.因此，在點(diǎn)P附近我們可以用這條直線來(lái)代替曲線，也就是說(shuō)，在點(diǎn)P附近，曲線可以看做直線.我們就可以用這條直線的斜率來(lái)刻畫(huà)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)上升或下降的變化趨勢(shì).問(wèn)題3：在之前的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你有類似的經(jīng)歷嗎？生活中有類似的體會(huì)嗎？建構(gòu)數(shù)學(xué)：切線定義:如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，直線PQ稱為曲線的割線．隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，割線PQ在點(diǎn)P附近逼近曲線C，當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限逼近點(diǎn)P時(shí)，直線PQ最終就成為經(jīng)過(guò)點(diǎn)

3、P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點(diǎn)P處的切線．這種方法叫割線逼近切線．建構(gòu)數(shù)學(xué)：?jiǎn)栴}4：我們已經(jīng)從“形”的角度上感受到切線的存在，能從“數(shù)”的角度求出這條直線嗎？數(shù)學(xué)應(yīng)用：例1.試求f(x)=x2在x=2處的切線斜率.問(wèn)題5：解析幾何中我們是如何完成的？我們又有什么新方法？割線逼近切線！我們用切線的斜率來(lái)刻畫(huà)了曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)的變化趨勢(shì)，因此我們把曲線在點(diǎn)P處的切線斜率稱為曲線在點(diǎn)P處的瞬時(shí)變化率.數(shù)學(xué)應(yīng)用：變式1：求f(x)=x2在x=a處的切線斜率.變式2：求f(x)=x2斜率為2的切線方程.問(wèn)題6：你能將該方法推廣到一般函數(shù)嗎？如何求出函數(shù)y=f(x)在

4、點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線斜率？1.設(shè)函數(shù)圖象上另一點(diǎn)2.割線PQ的斜率3.當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，kPQ無(wú)限趨近于點(diǎn)P處的切線斜率數(shù)學(xué)應(yīng)用：試一試：利用直尺，用割線逼近切線的方法作出下列曲線在點(diǎn)P處的切線思考：（1）能用直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定直線和曲線相切嗎？（2）曲線一定在切線的一側(cè)嗎？數(shù)學(xué)應(yīng)用：試一試：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)很多函數(shù)，你能給同桌出一個(gè)類似的求切線斜率的題嗎？數(shù)學(xué)應(yīng)用：課堂小結(jié)：1.一個(gè)概念：切線2.一種方法：割線逼近切線3.幾種思想：以直代曲無(wú)限逼近量變到質(zhì)變有限到無(wú)限近似與精確數(shù)形結(jié)合沒(méi)有哪門(mén)學(xué)科能比數(shù)學(xué)更為清晰闡明自然界的和諧性——保羅·卡盧斯用數(shù)學(xué)的

5、眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界——史寧中課堂小結(jié)：課后小任務(wù)：1.查閱資料，簡(jiǎn)單了解魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù).2.查閱資料，簡(jiǎn)單了解微積分的發(fā)展史.謝謝各位！