方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù).ppt

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1、第五章第三節(jié)一、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)二、全微分四、高階偏導(dǎo)數(shù)及高階全微分多元數(shù)量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分三、梯度及其與方向?qū)?shù)的關(guān)系五、多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分六、由一個方程確定的隱函數(shù)的微分法13.1、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)引例:設(shè)是平面上某一向量，其單位向量記為方向的變化率.解：作與l平行的直線L,它的方程為過點上變化時f(x)在點處的變化率.是一個二元函數(shù).現(xiàn)討論f在點處沿lf(x)在點處沿方向l的變化率，就是當(dāng)點在直線L2在與固定的情況下，當(dāng)點r在直線L上變化時，函數(shù)是自變量為t的一元函數(shù)，記作因此，f(r)在處沿方向l的變化率就是函數(shù)F(t)在t

2、=0處的導(dǎo)數(shù)，即3一、方向?qū)?shù)的定義定義:設(shè)是平面上一向量，與l同向的存在，則稱此極限值為f在r0點處沿l方向的方向?qū)?shù).從而對應(yīng)的函數(shù)值有改變量若內(nèi)讓自變量r由沿與平行的直線變到單位向量為二元函數(shù)在或記作即4關(guān)于方向?qū)?shù)的幾點說明(1)定義中的t的絕對值是兩點與之間的距離d.關(guān)于距離的變化率.(2)方向?qū)?shù)實際上是函數(shù)f在沿l方向沿l方向增加(減少).則f在處(3)若方向?qū)?shù)5方向?qū)?shù)的幾何意義平面與曲面相交的曲線為C.(1)當(dāng)t>0,的方向與l的方向相對應(yīng)，表示曲線C的割線與向量l交角的正切值,即(關(guān)于l的方向)的斜率.過直線作平行于z軸的

3、平面II，6方向?qū)?shù)的幾何意義(2)當(dāng)t<0,的方向與l的方向相反，表示(關(guān)于l的方向)的斜率.7它關(guān)于l方向的斜率是方向?qū)?shù)當(dāng)割線轉(zhuǎn)化為切線.如果極限存在，那么曲線C在點僅有唯一的切線T，8例3.1.設(shè)二元函數(shù)求f在點(0,0)沿方向的方向?qū)?shù).解：當(dāng)時，有當(dāng)時，由于從而9偏導(dǎo)數(shù)的定義在點的鄰域設(shè)函數(shù)即:定義3.2內(nèi)定義，若f在點處沿x軸(y軸)則稱此方向?qū)?shù)為f在點正向的方向?qū)?shù)存在，f對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為處對x(y)的偏導(dǎo)數(shù).同理給出f對y的偏導(dǎo)數(shù)的記號和定義式.10在區(qū)域D內(nèi)有定義，設(shè)函數(shù)及定義則f對x及y的偏導(dǎo)函數(shù)分別定義為其中f對x的

4、偏導(dǎo)函數(shù)簡記為f對y的偏導(dǎo)函數(shù)簡記為11設(shè)函數(shù)及例3.2求解：把y看作常數(shù)，對x求導(dǎo)得把x看作常數(shù)，對y求導(dǎo)得由得12二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義由方向?qū)?shù)的定義知，處對x的在點與平面的交線處對x的偏導(dǎo)數(shù)就是曲面處切線在點的斜率，即同理，13n元函數(shù)的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的方向?qū)?shù)的定義及偏導(dǎo)數(shù)定義可直接推廣到n元函數(shù)中.偏導(dǎo)數(shù)定義為方向?qū)?shù)定義為其中14