高數(shù)同濟§5.1 定積分概念與性質(zhì).ppt

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1、§5.1定積分概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例二、定積分定義三、定積分的性質(zhì)上頁下頁結(jié)束返回首頁一、定積分問題舉例曲邊梯形設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù).由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊.1.曲邊梯形的面積下頁如何求面積?觀察與思考在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形,當(dāng)小矩形的寬度減少時,小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化?近似值？下頁精確值？求曲邊梯形的面積(1)分割:a?x0

2、);(2)近似代替:(4)取極限:設(shè)??max{Dx1,Dx2,???,Dxn},曲邊梯形的面積為(3)求和:曲邊梯形的面積近似為;下頁積分的辯證法:量變質(zhì)變2.變速直線運動的路程已知物體直線運動的速度v?v(t)是時間t的連續(xù)函數(shù),且v(t)?0,計算物體在時間段[T1,T2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S.(1)分割:(2)近似代替:(3)求和:(4)取極限:首頁TOt1titi-1tn-1S始點終點

3、1,Dt2,???,Dtn}二、定積分定義1.定積分的定義在小區(qū)間[xi?1,xi]上任取一點xi(i?1,2,???,n),作和??max{Dx1,Dx2,???,Dxn};記Dxi=xi-xi?1(i?1,2,???,n),a?x0

4、的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量的記法無關(guān),即下頁1.定積分的定義二、定積分定義說明：(2)定積分是一種特殊的和式（黎曼和）的極限，其結(jié)果是一個數(shù)值.下頁(3)對區(qū)間任意分,ξi在小區(qū)間內(nèi)任意取,和式的極限總存在.2.函數(shù)的可積性如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在,則稱f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.1.定積分的定義二、定積分定義下頁利用定義計算定積分解把區(qū)間[0,1

5、]分成n等份,例1下頁1x1Oy區(qū)間端點小區(qū)間長利用定義計算定積分解例1下頁1x1Oy思考:如何三等分正方形?當(dāng)f(x)?0時,f(x)在[a,b]上的定積分表示由曲線y?f(x)、直線x?a、x?b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.當(dāng)f(x)?0時,f(x)在[a,b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.這是因為下頁3.定積分的幾何意義一般地,f(x)在[a,b]上的定積分表示介于x軸、曲線y?f(x)及直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數(shù)和.當(dāng)f(x)?0時,f(x)在[a,b]上的定積分表示由曲線y?f(x)、直線x?a、x?b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積.當(dāng)f(x)?0

6、時,f(x)在[a,b]上的定積分表示曲邊梯形面積的負值.下頁3.定積分的幾何意義利用幾何意義求定積分解作對應(yīng)的曲邊梯形的面積.對應(yīng)的曲邊梯形是一個直角三角形,例2所以例3利用定積分的幾何意義求定積分解上半圓的面積（如圖），即從幾何意義上看，該定積分為以R為半徑的y-RORx利用幾何意義求定積分例3將和式極限：表示成定積分.解原式三、定積分的性質(zhì)兩點規(guī)定這是因為性質(zhì)1首頁三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2>>>性質(zhì)3>>>注：值得注意的是不論a?b?c的相對位置如何上式總成立?下頁三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4下頁推論1如果在區(qū)間[a?b]上f(x)?g(x)?則這是因為

7、g(x)?f(x)?0?從而所以如果在區(qū)間[a?b]上f(x)?0?則性質(zhì)5下頁這是因為?

8、f(x)

9、?f(x)?

10、f(x)

11、,所以推論1如果在區(qū)間[a?b]上f(x)?g(x)?則如果在區(qū)間[a?b]上f(x)?0?則性質(zhì)5推論2下頁推論1如果在區(qū)間[a?b]上f(x)?g(x)?則如果在區(qū)間[a?b]上f(x)?0?則性質(zhì)5推論2性質(zhì)6設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a?b]上的最大值及最小值?則下頁例4.試證:證:設(shè)則在上,有即故即如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a?b]上連續(xù)?則在積分區(qū)間[a?b]