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1、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)華東理工大學(xué)計(jì)算機(jī)系·謝曉玲2第六章二維變換及二維觀察如何對(duì)二維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換。如何進(jìn)行二維觀察。3二維變換及二維觀察基本幾何變換與基本概念二維圖形幾何變換的計(jì)算復(fù)合變換變換的性質(zhì)4圖形的幾何變換平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射和錯(cuò)切變換的組合圖形幾何變換的目的改變圖形的位置、方向、大小基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換。6.2基本幾何變換6.2齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來(lái)表示。例如：向量(x1,x2,…,xn)的齊次坐標(biāo)表示為(Hx1,Hx2,…,Hxn,H),其中H是一個(gè)不為0的實(shí)數(shù)
2、。H=1的齊次坐標(biāo)稱為規(guī)范化齊次坐標(biāo)；反之：由點(diǎn)或向量的齊次坐標(biāo)(Hx1,Hx2,…,Hxn,H)，求它的規(guī)范化齊次坐標(biāo),可根據(jù)如下公式求得x1=Hx1/H,x2=Hx2/H,…xn=Hxn/H齊次坐標(biāo)表示法的優(yōu)點(diǎn)將平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等變換同統(tǒng)一的方式表示6齊次坐標(biāo)表示就是用n+1維向量表示一個(gè)n維向量。規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示就是h=1的齊次坐標(biāo)表示。基本幾何變換——規(guī)范化齊次坐標(biāo)恒等變換平面圖形的恒等變換保持原圖形的大小、形狀、位置不變,其變換矩陣為：7.2二維幾何變換的齊次坐標(biāo)表示8基本幾何變換——平移變換平移是指將p點(diǎn)沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置
3、的重定位過(guò)程。圖6-1平移變換100設(shè)：P‘=x’y'1=xy1010TxTy1令：T(Tx,Ty)=100010TxTy1記：P'=P*T(Tx,Ty)Tx，Ty稱為平移矢量?；編缀巫儞Q——平移變換10比例變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍，沿y方向放縮Sy倍。其中Sx和Sy稱為比例系數(shù)?；編缀巫儞Q——比例變換圖6-2比例變換(Sx=2,Sy=3)11矩陣形式：Sx00設(shè)：P‘=x’y'1=xy10Sy0001令：S(Sx,Sy)=Sx000Sy0001記：P'=P*S(Sx,Sy)Sx，Sy稱為比例系數(shù)?；編缀巫儞Q——比例變換12基本幾何
4、變換——比例變換圖6-3比例變換(a)Sx=Sy比例原圖(b)Sx<>Sy比例原圖SxSySx=Sy>1Sx=Sy<113整體比例變換：當(dāng)S>1，圖形整體縮?。划?dāng)S<1，圖形整體放大?；編缀巫儞Q——比例變換14二維旋轉(zhuǎn)是指將p點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度（逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)）得到新的點(diǎn)p’的重定位過(guò)程。x’=r?cos(?+?)=r?cos??cos?-r?sin??sin?=x?cosθ-y?sinθy’=r?sin(?+?)=r?cos??sin?+r?sin??cos?=x?sinθ+y?cosθ基本幾何變換——旋轉(zhuǎn)變換圖6-4旋轉(zhuǎn)變換15
5、矩陣形式：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角cosθsinθ1設(shè)：P‘=x’y'1=xy1-sinθcosθ0001令：R(θ)=cosθsinθ1-sinθcosθ0001記：P'=P*R(θ)基本幾何變換——旋轉(zhuǎn)變換16基本幾何變換——二維變換矩陣T1=ab比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等；cdT2=lm平移T3=p投影qT4=s整體比例sqypxmdybxy++++='sqypxlcyaxx++++='17對(duì)稱變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點(diǎn)的鏡像。基本幾何變換——對(duì)稱變換18基本幾何變換——對(duì)稱變換19(1)關(guān)于x軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-6關(guān)于x軸對(duì)稱20(2)
6、關(guān)于y軸對(duì)稱圖6-6關(guān)于y軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換21(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-6關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱22(4)關(guān)于y=x軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-6關(guān)于x＝y(tǒng)對(duì)稱23(5)關(guān)于y=-x軸對(duì)稱基本幾何變換——對(duì)稱變換圖6-6關(guān)于x＝－y對(duì)稱24錯(cuò)切變換，也稱為剪切、錯(cuò)位變換，用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理?；編缀巫儞Q——錯(cuò)切變換圖6-7錯(cuò)切變換①沿X方向關(guān)于Y軸的錯(cuò)切矩形p1p2p3p4沿X方向錯(cuò)切變換，得到矩形p1p2p3’p4’，錯(cuò)切角θ，點(diǎn)(x,y)變換為：x’=x+y*tan(θ)，y’=y令：shx=tan(θ)記：x’y
7、’1=xy1100shx10001P1P2P4P3P'4P‘3θyy*tan(θ)圖6.7沿X方向錯(cuò)切基本幾何變換——錯(cuò)切變換②沿Y方向關(guān)于X軸的錯(cuò)切矩形p1p2p3p4沿Y方向錯(cuò)切變換，得到矩形p1p2’p3’p4,錯(cuò)切角θ，點(diǎn)(x,y)變換為：x’=x，y’=y+x*tan(θ)令：shy=tan(θ)記：x’y’1=xy11shy0010001O41P‘2P‘3P1P2P3P4θx*tan(θ)圖6.7沿Y方向錯(cuò)切基本幾何變換——錯(cuò)切變換③沿兩個(gè)方向的錯(cuò)切x’=x+y*tan(α)y’=y+x*tan(θ)令：shx=tan(α)、shy=tan(θ)記
8、：x’y’1=xy11shy0shx1
