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《線性代數(shù)—實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第三節(jié)1并非所有方陣都可對(duì)角化,但是實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化.為了討論實(shí)對(duì)稱矩陣的有關(guān)性質(zhì)，需要研究向量?jī)?nèi)積和正交的概念和性質(zhì)。2定義兩個(gè)n維向量向量的內(nèi)積具有如下基本特性：證略.一、向量的內(nèi)積,正交和長(zhǎng)度3向量長(zhǎng)度的性質(zhì):由定義可知定義例1證4二、正交向量組和正交矩陣定義顯然零向量與任何向量都正交。??n維基本單位向量組是兩兩正交的。顯然有5例2解即得所求向量為6定義若非零向量?jī)蓛烧?，則稱之為正交向量組。定理正交向量組必線性無(wú)關(guān)。證設(shè)是正交向量組，7施密特正交化方法證略。8例3解用施密特正交化方法，將下列向量組正交化：9例4解將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化.10再單位化
2、,11例5解它的基礎(chǔ)解系為再正交化，12正交矩陣的性質(zhì)：證定義若n階矩陣Q滿足則稱Q為正交矩陣。13Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列向量組是單位正交向量組．證明定理14是單位正交向量組．同理,由可知Q的行向量組是單位正交向量組.15Q為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：(3)Q的行向量是兩兩正交的單位向量.(4)Q的列向量是兩兩正交的單位向量.16例6判別下列矩陣是否為正交矩陣．解(1)不是正交矩陣．17(2)所以它是正交矩陣．18練習(xí)驗(yàn)證矩陣是正交矩陣.P每個(gè)列向量都是單位向量，且兩兩正交，所以P是正交矩陣。19實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).三、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化定
3、理并非所有方陣都可對(duì)角化,但是實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化.證證略.實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交.定理只證兩個(gè)特征向量的情況.20定理證略.具體計(jì)算步驟如下：(1)求出實(shí)對(duì)稱矩陣A的全部特征值；(2)若特征值是單根，則求出一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并加以單位化；若特征值是重根，則求出重?cái)?shù)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，然后用施密特正交化方法化為正交組，再單位化；(3)將這些兩兩正交的單位特征向量按列拼起來(lái)，就得到了正交矩陣P。21例7解設(shè)求正交陣P，再單位化,22于是所求正交陣為使23例8解設(shè)求正交陣P，特征向量24特征向量25再單位化,拼起來(lái)得使26解例9設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特
4、征值是1,2,3；屬于特征值1,2的特征向量分別為(1)求屬于特征值3的特征向量；(2)求矩陣A.矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有由于實(shí)對(duì)稱即解齊次線性方程組,其系數(shù)矩陣為27屬于特征值3的特征向量為(2)所以28解例10對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對(duì)角陣.(1)第一步求的特征值29解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系30解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化31323334于是得正交陣3536ENDEND37
