矩陣的概念及運(yùn)算.ppt

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1、矩陣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中最最常用的工具和手段，利用它可以丟掉那些可忽略的部分，從而抓住問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜程度，并通過(guò)對(duì)矩陣的研究，完成對(duì)問(wèn)題的全面解決。比如：線性方程組就可用矩陣來(lái)解決。概述第二章矩陣矩陣已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)分支及經(jīng)濟(jì)分析、經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域.在這一章里，我們將介紹矩陣的運(yùn)算，方陣的行列式，可逆矩陣，矩陣的初等變換等關(guān)于矩陣的基本理論.這些內(nèi)容是學(xué)習(xí)后面各章的基礎(chǔ).§2.1矩陣的概念引例線性方程組未知量的系數(shù)可排成一個(gè)矩形陣列：加常數(shù)項(xiàng)有無(wú)解，由未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)決定。對(duì)方程組有無(wú)解的研究可轉(zhuǎn)為對(duì)上述矩形陣列的研究。例例P.51四種

2、產(chǎn)品，四個(gè)季度的產(chǎn)值也可用一個(gè)矩形陣列（或矩形表）來(lái)描述：季度產(chǎn)值從該矩形表上可以看出產(chǎn)值的變化規(guī)律。矩陣的定義定義2.1由個(gè)數(shù)排成的m行n列數(shù)表（陣列）稱為一個(gè)m行n列矩陣，習(xí)慣上稱為該矩陣的“大小”或型。P.52其中表示第i行第j列處的元素。簡(jiǎn)稱為矩陣，矩陣的記法(1)A，B，C，......(2)，，，......(3)，例：(小括號(hào)和中括號(hào)是矩陣的標(biāo)志性符號(hào))?所有元素都為零的矩陣稱為零矩陣，記為O.例如特別：(P.52)?行（列）陣：?當(dāng)m=n時(shí)，稱矩陣為n階矩陣或n階方陣。例如是三階矩陣一階（m=n=1)矩陣就是一個(gè)數(shù)。

3、A

4、例注意：長(zhǎng)方形矩陣不能

5、取行列式！方陣的行列式定義2.2矩陣相等另外：?非負(fù)矩陣：?A的負(fù)矩陣：行列式與矩陣的不同之處：行列式矩陣?行列式是一個(gè)數(shù)量?矩陣是一張矩形表?行數(shù)與列數(shù)相等?行數(shù)與列數(shù)可以不相等?不同階的行列式值可能相等?不同大小的矩陣不可能相等例如：數(shù)的運(yùn)算加法減法乘法除法矩陣的運(yùn)算加法減法?數(shù)乘矩陣?矩陣乘矩陣無(wú)定義了逆矩陣在學(xué)習(xí)矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)時(shí)，要注意與數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)對(duì)比，哪些同，哪些不同?！?.2矩陣的運(yùn)算例甲、乙兩個(gè)廠的四種產(chǎn)品，四個(gè)季度的產(chǎn)值分別如矩陣A、B，季度產(chǎn)值則總和（一）1.矩陣的加法P.53定義2.3設(shè)矩陣與是兩個(gè)矩陣，將它們的對(duì)應(yīng)元相加，得到一個(gè)新

6、的矩陣：則稱矩陣C為矩陣A與B之和，記作C=A+B.問(wèn)：兩個(gè)矩陣的大小不同可否相加？不能！由負(fù)矩陣可定義矩陣減法(P.55)：設(shè)A、B為同型矩陣，則A與B的差，即矩陣減法：2.矩陣的數(shù)乘定義2.4設(shè)是一個(gè)矩陣，k是一個(gè)常數(shù)，則稱矩陣為矩陣A與數(shù)k的乘積(矩陣的數(shù)乘)，記為kA.這與行列式的性質(zhì)不同!重要結(jié)果：A為n階方陣?P.53例有4名學(xué)生，3門課平時(shí)成績(jī)期末成績(jī)期中成績(jī)總成績(jī)中,分別占10%、20%和70%D=0.1C+0.2B+0.7A0.1+0.2+0.7總成績(jī)矩陣矩陣的加(減)法與數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。例例設(shè)A為三階矩陣，且

7、A

8、=2,則一般有：

9、線性運(yùn)算的八大性質(zhì)（運(yùn)算律）（P.54）設(shè)A、B、C、O為同型矩陣，k，l為數(shù)，則有加法數(shù)乘與“數(shù)”相應(yīng)的運(yùn)算律相同。例(P.56例4)已知解（二）矩陣的乘法引例工廠產(chǎn)量ⅠⅡⅢⅣ產(chǎn)品甲乙丙產(chǎn)品甲乙丙價(jià)格單位利潤(rùn)工廠ⅠⅡⅢⅣ總收入總利潤(rùn)總收入＝產(chǎn)量x價(jià)格總利潤(rùn)＝產(chǎn)量x單位利潤(rùn)P.56ABC定義2.5P.59定義A,B之積其中，稱A左乘B，或B右乘A能相乘的條件：左矩陣的列數(shù)與右矩陣的行數(shù)相等；積矩陣的大?。鹤缶仃嚨男袛?shù)乘右矩陣的列數(shù)。即??要點(diǎn)：左行乘右列，“長(zhǎng)度”相等;積矩陣大小為：左首右尾。例（P59)AB?BA交換律不成立！練習(xí)解一個(gè)數(shù)例（P61)兩個(gè)矩陣

10、A、B，矩陣可交換定義P.61則稱A與B可交換；例（P60)例（P63)AC=BCA=B或C=O消去律不成立！例：線性方程組的矩陣表示令則方程組可改寫為：P.63例9解矩陣方程例（P.64）解由題設(shè)，有得方程組：以后還有更簡(jiǎn)便的方法—逆矩陣法！矩陣乘法的性質(zhì)P.64證明略4°(P.65中)設(shè)A,B為n階方陣同階方陣之積的行列式，等于行列式之積。注意：1°長(zhǎng)方形矩陣不能用該性質(zhì)！如：（三）矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.6轉(zhuǎn)置例P.66一階矩陣有數(shù)性質(zhì)(P.66)證明4o：(i)推廣：容易驗(yàn)證左右兩邊矩陣的大小相等?，F(xiàn)證左右兩邊矩陣的元素對(duì)應(yīng)相等。例如：可能無(wú)意義注意：定義：

11、設(shè)A是n階方陣，k為正整數(shù)，性質(zhì)：但是，一般地（四）方陣的冪與數(shù)的方冪同與數(shù)的方冪不同P.67—A的k次冪—n階單位矩陣定義例設(shè)解法一：思路：找規(guī)律，再用歸納法證明。假設(shè)成立，則由數(shù)學(xué)歸納法：解法二以后講練習(xí)1.設(shè)A,B為n階方陣，討論在什么條件下有解可見(jiàn)：只有當(dāng)A,B可以交換時(shí)，上述結(jié)果才成立，即，二項(xiàng)式公式和因式分解公式對(duì)于矩陣不一定成立！即一般：但當(dāng)AB=BA或B=I時(shí)公式成立。練習(xí)解巧辦法！矩陣乘法與數(shù)的乘法不同的地方：1.AB與BA可能都無(wú)意義，或其中一個(gè)有意義；2.AB與BA都有意義，一般3.推不出4.AC=BCA=B或C=O推不出5.n階方陣A、

12、B，一般6.一般情況下，二項(xiàng)式公式對(duì)矩