資源描述：
《數(shù)學(xué)建模_SIR數(shù)學(xué)模型的建立.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、數(shù)學(xué)建模傳染病模型醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的健康和生命。社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會(huì)影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。一般把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；I類，感病者(Infective)，指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者(Removal)，指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。問(wèn)題提出?請(qǐng)建立傳染病模
2、型，描述傳染病的傳播過(guò)程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律以及被傳染的人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來(lái)?為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時(shí)，被傳染的人數(shù)大致不變？按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型問(wèn)題分析：關(guān)鍵字:社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素摘要：隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來(lái)。20世紀(jì)80年代十分險(xiǎn)惡的愛(ài)滋病毒開(kāi)始肆虐全球，至今帶來(lái)極大的危害。長(zhǎng)期以來(lái)，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的
3、課題。不同類型傳染病的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識(shí)，這里不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機(jī)理建立幾種模型。3數(shù)學(xué)建模模型1在這個(gè)最簡(jiǎn)單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，方程（1）的解為結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無(wú)限增長(zhǎng)，這顯然是不符合實(shí)際的。建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進(jìn)的模型中必須區(qū)別這兩種人。模型2SI模型假設(shè)條件為1.在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。
4、人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類（取兩個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型），以下簡(jiǎn)稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作s(t)和i(t)。2.每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕７匠蹋?）是Logistic模型。它的解為3數(shù)學(xué)建模這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門(mén)診量最大的一天，預(yù)示著傳染病高潮的到來(lái)，是醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)關(guān)注的時(shí)刻其原因是模型中沒(méi)有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變成健康者。模型3SIR模型大多數(shù)傳染病
5、如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較復(fù)雜，下面將詳細(xì)分析建模過(guò)程。模型假設(shè)1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數(shù)N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。病人的日接觸率為l，日治愈率為m（與SI模型相同），傳染期接觸為s=l/m。模型構(gòu)成3數(shù)學(xué)建模由假設(shè)1顯然有s(t)+i(t)+r(t)=1(12)根據(jù)條件2方程（8）仍然成立。對(duì)于病愈免疫的移出者而言有方程（14）無(wú)法求出s(t)和i(
6、t)的解析解，我們先作數(shù)值計(jì)算。模型4SIR模型SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀。胁≌呖梢员恢斡?，并?huì)產(chǎn)生免疫力，變?yōu)橐瞥?。人員流動(dòng)圖為：S-I-R。大多數(shù)傳染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類假設(shè)：1總?cè)藬?shù)為常數(shù)，且i（t）+s（t）+r（t）=n；2單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)健康者人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（傳染強(qiáng)度）。3單位時(shí)間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)l。稱為恢復(fù)系數(shù)。可得方程：模型分析：由以上方程組的：=p/s-1p=
7、l/k,所以i=plns/-s+n.容易看出當(dāng)t無(wú)限大時(shí)i(t)=0;而當(dāng)p時(shí)，i(t)單調(diào)下將趨于零；上批示，i(t)先單調(diào)上升的最高峰，然后再單調(diào)下降趨于零。所以這里仍然出現(xiàn)了門(mén)檻現(xiàn)象：p是一個(gè)門(mén)檻。從p的意義可知，應(yīng)該降低傳染率，提高回復(fù)率，即提高衛(wèi)生醫(yī)療水平。令t→∞可得：―=2*(―p)/p所以：δps0=p+δ，當(dāng)時(shí)，s≈2δ3數(shù)學(xué)建模，這也就解釋了本文開(kāi)頭的問(wèn)題，即統(tǒng)一地區(qū)一種傳染病每次流行時(shí)，被傳染的人數(shù)大致不變。模型的應(yīng)用與推廣：根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動(dòng)力學(xué)模型。傳染病動(dòng)力學(xué)[1]是對(duì)進(jìn)行理論性定量研究的一種重
