高考數(shù)學復習專題二數(shù)列第2講數(shù)列求和及綜合應用練習.doc

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1、第2講　數(shù)列求和及綜合應用高考定位　1.高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉化、錯位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的和，難度中檔偏下；2.在考查數(shù)列運算的同時，將數(shù)列與不等式、函數(shù)交匯滲透.真題感悟1.(2017·全國Ⅲ卷)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.解　(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝，又n＝1時，a1＝2適合上式，從而{an}的通項公式

2、為an＝.(2)記的前n項和為Sn，由(1)知＝＝－，則Sn＝＋＋…＋＝1－＝.2.(2017·山東卷)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項和Tn.解　(1)設{an}的公比為q，由題意知又an>0，14解得所以an＝2n.(2)由題意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝，則cn＝，因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又

3、Tn＝＋＋＋…＋＋，兩式相減得Tn＝＋－，所以Tn＝5－.考點整合1.(1)數(shù)列通項an與前n項和Sn的關系，an＝(2)應用an與Sn的關系式f(an，Sn)＝0時，應特別注意n＝1時的情況，防止產生錯誤.2.數(shù)列求和(1)分組轉化求和：一個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并.(2)錯位相減法：主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法

4、適用于形如(其中{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.溫馨提醒　裂項求和時，易把系數(shù)寫成它的倒數(shù)或忘記系數(shù)導致錯誤.3.數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關系，將條件進行準確的轉化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題、不等關系或恒成立問題.14熱點一　an與Sn的關系問題【例1】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數(shù)n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log

5、2

6、an

7、，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，cn＝.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{cn}的前n項和An，并求出An的最值.解　(1)因為an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5Sn＋1＋1，兩式相減，得an＋1＝－an，又當n＝1時，a1＝5a1＋1，知a1＝－，所以數(shù)列{an}是公比、首項均為－的等比數(shù)列.所以數(shù)列{an}的通項公式an＝.(2)bn＝－1－log2

8、an

9、＝2n－1，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝n2，cn＝＝＝－，所以An＝1－.因此{An}是單調遞增數(shù)列，∴當n＝1時，An有最小值A1＝1－＝；An沒有最大值.探究提高　1.給

10、出Sn與an的遞推關系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.2.形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可構造一個新的等比數(shù)列.【訓練1】(2018·安徽江南名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足2(Sn＋1)＝(n＋3)an.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設數(shù)列{bn}滿足bn＝，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<3.14(1)解　2(Sn＋1)＝(n＋3)an，①當n≥2時，2(Sn

11、－1＋1)＝(n＋2)an－1，②①－②得，(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，又∵＝，故是首項為的常數(shù)列.所以an＝(n＋2).(2)證明　由(1)知，bn＝＝＝9.∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝9＝9＝3－<3.熱點二　數(shù)列的求和考法1　分組轉化求和【例2－1】(2018·合肥質檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S4＝24，S7＝63.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝2an＋(－1)n·an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解　(1)∵{an}為等差數(shù)列，∴解得因此{an}的通項公式an＝2n＋1.(2)∵b