條件概率及全概率公式 .ppt

《 條件概率及全概率公式 .ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、§1.5條件概率及全概率公式在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A

2、B).一般P(A

3、B)≠P(A)P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點(diǎn)}，B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(A

4、B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A

5、B)=1/3.B中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個(gè)在集A中，容易看到P(A

6、B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品

7、，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記B={取到正品}A={取到一等品}，P(A

8、B)P(A)=3/10，B={取到正品}P(A

9、B)=3/7本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計(jì)算P(A

10、B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個(gè)新的條件.這好象給了我們一個(gè)“信息”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來(lái)考慮問(wèn)題.若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0,

11、則稱(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則1.對(duì)任一事件A，0≤P(A

12、B)≤1;2.P(Ω

13、B)=1；3.設(shè)A1,…,An互不相容，則P[(A1+…+An)

14、B]=P(A1

15、B)+…+P(An

16、B)而且，前面對(duì)概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率.2)從加入條件后可用縮減樣本空間法4.條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)}，B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A

17、B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)例1擲兩顆均勻

18、骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算例2設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4。如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，問(wèn)它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A表示“能活到20歲以上”，B表示“能活到25歲以上”。則由已知從而所求的概率為條件概率與無(wú)條件概率之間的大小無(wú)確定關(guān)系若一般地條件概率無(wú)條件概率二、乘法公式由條件概率的定義：定理1.1若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A

19、

20、B)(2)若已知P(B),P(A

21、B)時(shí),可以反求P(AB).若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B

22、A)(3)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率多個(gè)事件的乘法公式則有這就是n個(gè)事件的乘法公式．例1在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中連續(xù)無(wú)放回地抽取3次，問(wèn)第三次才取得次品的概率。解：設(shè)A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”，則例2袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹梗笕×薾次都未取出黑球的概率．解：則由乘法公式，我們有

23、返回主目錄乘法公式應(yīng)用舉例乘法公式應(yīng)用舉例一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.（波里亞罐子模型）b個(gè)白球,r個(gè)紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.”隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.解:設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4b個(gè)白球,r個(gè)紅球用乘法公式容易求出當(dāng)c>0

24、時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2

25、W1)P(R3

26、W1W2)P(R4

27、W1W2R3)P(W1W2R3R4)全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

28、A)P(A)>0三、全概率公式和貝葉斯公式例1有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取

29、一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概