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1、§1.5條件概率及全概率公式在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A
2、B).一般P(A
3、B)≠P(A)P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，B={擲出偶數(shù)點}，P(A
4、B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，于是P(A
5、B)=1/3.B中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個在集A中，容易看到P(A
6、B)P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品
7、，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記B={取到正品}A={取到一等品}，P(A
8、B)P(A)=3/10，B={取到正品}P(A
9、B)=3/7本例中，計算P(A)時，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計算P(A
10、B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“信息”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個事件，且P(B)>0,
11、則稱(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的性質(zhì)(自行驗證)設(shè)B是一事件，且P(B)>0,則1.對任一事件A，0≤P(A
12、B)≤1;2.P(Ω
13、B)=1；3.設(shè)A1,…,An互不相容，則P[(A1+…+An)
14、B]=P(A1
15、B)+…+P(An
16、B)而且，前面對概率所證明的一些重要性質(zhì)都適用于條件概率.2)從加入條件后可用縮減樣本空間法4.條件概率的計算1)用定義計算:P(B)>0擲骰子例：A={擲出2點}，B={擲出偶數(shù)點}P(A
17、B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù)例1擲兩顆均勻
18、骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算例2設(shè)某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4。如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A表示“能活到20歲以上”，B表示“能活到25歲以上”。則由已知從而所求的概率為條件概率與無條件概率之間的大小無確定關(guān)系若一般地條件概率無條件概率二、乘法公式由條件概率的定義：定理1.1若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A
19、
20、B)(2)若已知P(B),P(A
21、B)時,可以反求P(AB).若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B
22、A)(3)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率多個事件的乘法公式則有這就是n個事件的乘法公式．例1在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中連續(xù)無放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率。解：設(shè)A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”，則例2袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直至取出黑球為止．求取了n次都未取出黑球的概率．解：則由乘法公式，我們有
23、返回主目錄乘法公式應(yīng)用舉例乘法公式應(yīng)用舉例一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.（波里亞罐子模型）b個白球,r個紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球.”隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.解:設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4b個白球,r個紅球用乘法公式容易求出當(dāng)c>0
24、時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2
25、W1)P(R3
26、W1W2)P(R4
27、W1W2R3)P(W1W2R3R4)全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B
28、A)P(A)>0三、全概率公式和貝葉斯公式例1有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取
29、一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概
