組合數(shù)公式的由來(lái)及演變.pdf

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1、萬(wàn)方數(shù)據(jù)第24卷第5期V0124No5昭通師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)journalofZhaotongTeacher％COllege2002年10月On2002組合數(shù)公式的由來(lái)及演變饒克勇(昭通師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，云南昭通657000)[摘要]系統(tǒng)地指示出組臺(tái)數(shù)公式的由來(lái)及演變．[關(guān)鍵詞]組合數(shù)；自然撤；二項(xiàng)武定理[中圖分類號(hào)]0157[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]]008—9322(2002)05·0012-04TheOriginandEvolutionofCombinationNumber'sFormulaRAOKe—yong(DepartmentofMathematics，Zha

2、otongTeacherNCollegeAbstract：Expoundinasystematicwaytheoriginandevolutionofcombinationnumber'sformula．Keywords：combinationnumber；naturalnumberjbinomialtheorem排列、組合、二項(xiàng)式定理對(duì)人們學(xué)習(xí)、研究和解決實(shí)際問題有著重要作用．本文對(duì)組合數(shù)公式的由來(lái)與演變作一揭示．1組合數(shù)的定義殛基本性質(zhì)1．1組夸數(shù)的定義組合數(shù)c?是m和n的二元函數(shù)．設(shè)集合一的基card(4)=”，集合5移={BfBEA^card(B)=訓(xùn)，則C；7=card(

3、毋)．由定義知：c?的定義域?yàn)镹×N．當(dāng)m≤”時(shí)，有公式C7=而等島兩“)而當(dāng)m>一時(shí)，C7—0(此時(shí)留一g)．公式(1)稱為組合數(shù)基本公式．c?實(shí)際上是自然數(shù)集上的二元運(yùn)算，這種運(yùn)算既不滿足交換律也不滿足結(jié)合律．1．2組合數(shù)的性質(zhì)(1)可通過約分化為C7=塑_≮爭(zhēng)里業(yè)．(2)當(dāng)m=0時(shí)，(2)式不能給出c?的定義，需要由(1)式補(bǔ)充C：=1；但當(dāng)m>n時(shí)，由(2)式有C2=0．公式(2)為組合數(shù)概念的推廣創(chuàng)造了條件．收稿日期：2002—06—20作者簡(jiǎn)介：饒克勇(1939一)．男，云南昭通人．教授·12·萬(wàn)方數(shù)據(jù)饒克舅組合數(shù)公式的由來(lái)及演變第5期組合數(shù)還可由遞推公式進(jìn)行計(jì)算C7+

4、=三書C2；=群篙c?n+1一mⅥc搿=措c2由c；=1，通過以上遞推公式，即可求出所有組合數(shù)．組合數(shù)具有如下常用性質(zhì)：4·c?一Cf?iB．(=盅1；C．C2+l—C2+C71；D．皚一c2+’+2(習(xí)+c2E．mC2=nCTz，(m一1，2，?)．2用二項(xiàng)式定理推演組合數(shù)公式二項(xiàng)式定理沁+y)”一∑C2,r?y“，("∈N)可用來(lái)推演組合數(shù)公式．以下恒設(shè)r=1．在二項(xiàng)式定理中，令Y一1，有令Y=一1，有∑四=2”；∑(一1)4C7—0m‘0由(3)式和(4)式分別相加、相減再除以2，可得∑c，一2—1∑c”一2”在二項(xiàng)式定理中，令y=i，得(】十i)。=∑(一1)。q”+i∑(

5、一1)’“c?“+m'0m=0因?yàn)?1+i)“=／F(cos等+isin竽)，故(7)式的平方加(8)式的平方，得蚤(-1)”曙=汀c。s警；∑(--D'Cp“=,／Ysin竿∑(一1)“Cp)2+((5)式加(7)式，再除以2，得(6)式加(8)式，再除以2，得∑(一1)“c?)2=2“Ec'm=2一+、／產(chǎn)cos竽；∑c∥=2一+／釅sin竽在二項(xiàng)式定理中，令Y為方程Y3—1=0的根啪=1+汀i一1一／了—廠’yz?！猺～薹c?卯2(1-1-y，)”一c。s等+sin警(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)Y，一1，得·13·萬(wàn)方數(shù)據(jù)第24卷昭通師范高等專

6、科學(xué)控學(xué)報(bào)2002年(總第84期)∑研，；一(1+y擴(kuò)—c。s等一sin等，∑c：一2”．三式相加，得∑c：(y?+坩+1)一2c。s等+2”．由于當(dāng)3帳時(shí)，1+計(jì)+業(yè)=0；當(dāng)3I^時(shí)，1+Y：-4-Yl一3．從而3∑q”=2cos譬+2“．即蚤c卜號(hào)(cos等坩1)．在二項(xiàng)式定理中，取不同的”值，有∑CTy“=(1+y)”，(12)^∑cr，一(1+J)‘，w20兩式相乘，得H●^+●(∑c?y“)(∑c?，J；(1+y)”‘一∑曙-曠．m一0Ⅷm=o比較兩邊含，的系數(shù)，得∑q四一，一c孫(13)J=0特別地，當(dāng)k=m一“時(shí)，由組合數(shù)性質(zhì)^，有∑(c∥=c軌(14)在二項(xiàng)式定理中

7、．令”=^，則crg(a+y)‘展開式中曠的系數(shù)．由此可知；∑c?是∑(1+y)‘的展開式中y“的系數(shù)．由于寶(1+y)t=盟—二掣，其展開式中ym項(xiàng)的系數(shù)為c搿，從而有∑四一c?。?15)在二項(xiàng)式定理中，公式兩邊對(duì)Y求導(dǎo)，得棚+y)“=∑mc?y?，(16)令Y=1，得∑mc：一H·2?，(17)(16)式兩邊同乘以Y，再對(duì)Y求導(dǎo)，得令Y=1，得1)y(1十y)?=∑m。曰曠一∑m2曰一n·2“+n(一一1)·2—2同法，可計(jì)算出∑m‘c：，h一3，4，5，?m51