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《高中數(shù)學(xué)解題方法談?dòng)煤瘮?shù)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、用函數(shù)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都可以看成是關(guān)于n的函數(shù)，特別是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)（公差d≠０時(shí)），而其求和公式可以看成是關(guān)于n的二次函數(shù).數(shù)列的單調(diào)性的判斷可以借助于函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，數(shù)列中各項(xiàng)大小的比較，可以借助函數(shù)圖象的直觀性來(lái)比較.因此，許多數(shù)列問(wèn)題可以用函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分析，加以解決. 1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成自變量為n的一次函數(shù)（公差d≠０時(shí)） 例1已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，是否存在常數(shù)k，使得成立. 分析：將看成是n的一次函數(shù)，設(shè)出函數(shù)解析式并代入進(jìn)
2、行求解. 解：設(shè)存在常數(shù)k，使得成立， 令（p、q為常數(shù)）， 則.① 又∵,， 代入①式變?yōu)?， 由②，得? 將p=0代入③、④不成立. 將kp=代入③，得 ， 代入④，得 ，即， ∴，從而得出． ∴存在常數(shù)k，使得成立. 評(píng)注：存在型探索性問(wèn)題，是指判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)值、圖形、函數(shù)等）不確定的問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題常常出現(xiàn)“是否存在”、“是否有”等形式的疑問(wèn)句，以示結(jié)論有待于確定.解答此類(lèi)問(wèn)題的思路是：通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在（或結(jié)論成立）或暫且認(rèn)可其中一部分的結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出
3、矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論的證明. 2．構(gòu)造一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)圖象性質(zhì)解題 例２ 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為30，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n項(xiàng)和為（ ）. ?。ǎ粒?0 （B）170 ?。–）210 ?。―）260 分析：運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，先對(duì)進(jìn)行變形，，則可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)，再利用點(diǎn)共線的性質(zhì)求解. 解：由，可得， 由此可知數(shù)列成等差數(shù)列， ∴三點(diǎn)共線. ∴， ∴. 評(píng)注：①可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是直線上的離散點(diǎn)，本題是利用點(diǎn)共線的條件建立方程求解的.運(yùn)用該法還可以推得在等差數(shù)列中若
4、，則．②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以看成是關(guān)于n的一次函數(shù)，利用該性質(zhì)可推知等差數(shù)列中若，則. 3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可看成是關(guān)于n的二次函數(shù) 例3 已知等差數(shù)列，首項(xiàng)，且，問(wèn)此數(shù)列前幾項(xiàng)的和最大？最大值是多少？ 分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和為特殊的二次函數(shù)，所以可采用配方法求其最值. 解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，前n項(xiàng)和為， ∵，即， ∴， ∴當(dāng)n=6或n=7時(shí)，為最大. 評(píng)注：關(guān)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和最大（小）問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，再結(jié)合二次函數(shù)的最值問(wèn)題加以分析，但應(yīng)特別注意，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸不是正自然數(shù)時(shí)，應(yīng)將與對(duì)稱(chēng)軸最接近的兩個(gè)自然數(shù)代入函數(shù)
5、關(guān)系式，再求值比較，以便確定n取何值時(shí)，最大（最?。? 4．利用函數(shù)單調(diào)性知識(shí)解（證）數(shù)列中的單調(diào)性問(wèn)題 例4 已知函數(shù)，數(shù)列滿足． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ?。?）求證數(shù)列是遞減數(shù)列. 分析：①本題已知函數(shù)關(guān)系式，并給出了的關(guān)系式，將其看作關(guān)于的方程解出即可.②數(shù)列是特殊的函數(shù)，借助函數(shù)的增減性的方法來(lái)證明數(shù)列的增減性. （1）解：∵，， ∴，即．. ∴，（※） 解得 又∵，∴； ?。?）證明：由． 又∵．. ∴數(shù)列是遞減數(shù)列. 評(píng)注：本題主要應(yīng)用函數(shù)與方程的思想解題，（※）式可看成是關(guān)于的方程；而求出的通項(xiàng)公式又反映
6、了是關(guān)于n的函數(shù).解題過(guò)程中這個(gè)細(xì)節(jié)要注意．
