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《常見遞推數(shù)列類型以及應(yīng)用.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)培尖資料2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)培尖資料-------高考數(shù)學(xué)遞推數(shù)列題型歸納解析類型1遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例1：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以例2：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；分析：由，，n=1，2，3，……，得，，，由（n
2、≥2），得（n≥2），又=，所以(n≥2),∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；總結(jié)：這個(gè)類型主要用到公式，在時(shí)很容易犯錯(cuò)誤，需要注意。變式:(05,江西,文,已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解：，，兩邊同乘以，可得令…………-11-2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)培尖資料又，，，。類型2解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，例2:數(shù)列且,求數(shù)列的通項(xiàng).分析:注意到左右兩邊系
3、數(shù)與下標(biāo)乘積均為,將原式兩邊同除以,變形為,可轉(zhuǎn)化為類型一求解.下略.變式:（2004，全國I，理22．本小題滿分14分）已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通項(xiàng)公式.解：，，即，…………-11-2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)培尖資料將以上k個(gè)式子相加，得將代入，得，。經(jīng)檢驗(yàn)也適合，類型3解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。,例1:已知數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式
4、得個(gè)等式累乘之，即又，例2:數(shù)列的通項(xiàng).解:變式:（2004，全國I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，，即，又，，將以上n個(gè)式子相乘，得類型4（其中p，q均為常數(shù)，）用待定系數(shù)法,構(gòu)造一個(gè)公比為p的等比數(shù)列,令,,從-11-2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)培尖資料而{}是一個(gè)公比為p的等比數(shù)列.例1:(06，重慶,文)已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)
5、列，則,所以.類型5:遞推式：例1:已知數(shù)列中，,，求。法一：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以法二:在兩邊除以得:,令,則有,采用逐差求和法可得3所以法三:待定系數(shù)法:設(shè),則所以令,則,所以變式:(07天津)在數(shù)列中N其中.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】由N可得所以為等數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0.故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為類型6解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令-11-2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)培尖資料，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例1:設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，
6、將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說明：（1）若為的二次式，則可設(shè);(2)本題也可由,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.變式:（2008年廣州一模19題）已知數(shù)列中，且（且）． （1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）方法1：∵，∴，．設(shè)，由為等差數(shù)列，則有． ∴． ∴．解得． 事實(shí)上，， 綜上可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公差是1的等差數(shù)列．方法2：∵數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)，由為等差數(shù)列，則有∴．∴．-11-2014-2015學(xué)年高
7、二數(shù)學(xué)培尖資料 綜上可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)是、公差是1的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，∴．∴．即．令，①則．②②－①，得．∴．類型7解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列解：由兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。變式:（06山東理）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1）證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；（2）設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛
8、an｝的通項(xiàng)；（3）記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1解：（Ⅰ）由已知，，兩邊取對(duì)數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得（Ⅲ），，，又，-11-2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)培尖資料，又，類型8解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式1:（2006江西理22）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.解：將條件變
