資源描述：
《初中數(shù)學三角形不盡的探索無窮的樂趣.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、不盡的探索 無窮的樂趣湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學 趙國瑞引例?如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，試判斷∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．??????????????????? ???????????????????????????? 圖1?解：∠BOC=90°+∠A．?理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，?∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB．?∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)．?在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A．?∴∠1+∠2=(180°-∠A)=90°-∠A．?在△
2、BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)?=180°-(90°-∠A)=90°+∠A．?由此我們得到這樣一個結(jié)論：?結(jié)論1：三角形兩內(nèi)角平分線的夾角等于第三個內(nèi)角的一半的余角的補角．?如果把題目中的內(nèi)角平分線，改為外角的平分線，那么∠BOC與∠A的關系又如何呢？?探索一：如圖2，△ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分線相交于點O，試判斷∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．? ??????????????? 圖2?解：∠BOC=90°-∠A．?理由：∵BO平分∠CBM，CO平分∠BCN，?∴∠1=
3、∠CBM，∠2=∠BCN．?∴∠1+∠2=(∠CBM+∠BCN)．?∵∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB，?∴∠CBM+∠BCN=360°-(∠ABC+∠ACB)?=360°-(180°-∠A)=180°+∠A．?∴∠1+∠2=(180°+∠A)=90°+∠A．?在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2)?=180°-(90°+∠A)=90°-∠A．?說明：在計算∠CBM+∠BCN時，也可利用三角形的外角性質(zhì)，即∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，所以∠CBM+∠BCN=(∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A=180°+∠A．?
4、為了利用結(jié)論1，本題也可以這樣說明理由：?如圖3，分別作∠ABC和∠ACB的平分線BP和CP，BP和CP相交于點P，根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”(此結(jié)論留給同學們自己探索)，可得∠PBO=90°，∠PCO=90°．又四邊形PBOC的內(nèi)角和等于360°，所以∠BOC=360°-90°-90°-∠BPC=180°-∠BPC．? ???????????????????????????????????? 圖3? 利用結(jié)論1，可得∠BPC=90°+∠A．? 所以∠BOC=180°-(90°+∠A)=90°-∠A
5、．?由此我們得到這樣一個結(jié)論：?結(jié)論2：三角形兩外角平分線的夾角等于與這兩外角不相鄰的內(nèi)角的一半的余角．?以上分別是兩內(nèi)角平分線與兩外角平分線相交的情況，如果是一內(nèi)角的平分線與一外角的平分線相交，結(jié)果又會如何呢？?探索二：如圖4，在△ABC中，內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于點O，試說明∠BOC與∠A的關系？說明你的理由．? ?????????????? 圖4?解：∠BOC=∠A．?理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，?∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2．? 又∠2是△BOC
6、的外角，?∴∠2=∠1+∠BOC，即∠BOC=∠2-∠1．?又∠ACD是△ABC的外角，?∴∠ACD=∠ABC+∠A，即∠A=∠ACD-∠ABC．? ∴∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠BOC．? ∴∠BOC=∠A．? 為了利用結(jié)論1，本題也可以這樣說明理由：?如圖5，作∠ACB的平分線CP交BO于點P，利用結(jié)論1可知∠BPC=90°+∠A．根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”可知∠PCO=90°．又∠BPC是△PCO的外角，所以∠BPC=∠BOC+∠BPC，即90°+∠A=∠BOC+90°．∴∠BOC=∠A．? ?
7、??????????????? 圖5? 為了利用結(jié)論2，本題也可以作△ABC的外角平分線與CO的反向延長線相交于點P(如圖6)，易證CP是△ABC的外角∠BCE的平分線，根據(jù)“一對鄰補角的平分線互相垂直”可知∠PBO=90°．又由結(jié)論2可知∠BPC=90°-∠A，所以∠BOC=180°-∠PBO-∠BPC=180°-90°-(90°-∠A)=∠A．? ???????????????? 圖6?同學們，閱讀此文，你是否有一種沉浸在
