淺談數形結合思想.docx

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1、淺談數形結合思想?【摘要】本文主要介紹怎樣應用數形結合來解決一些數學問題，及其應注意的事項。【關鍵詞】數形結合；數形結合思想；以形助數；以數解形?中學數學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數形結合，或形數結合。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！薄皵怠迸c“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數

2、解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等，特別是在做選擇題時，只有一個答案是正確答案，用此種方法就可能起到意想不到的效果。由于這“以

3、數解形”比較簡單，所以這里就不多做介紹了?！耙孕沃鷶怠笔侵赴殉橄蟮臄祵W語言轉化為直觀的圖形，可避免繁雜的計算，獲得出奇制勝的解法。學生通常把“數形結合”就理解為“以形助數”，也可以這么說，理解了并掌握了“以形助數”這種思想方法，就是理解了“數形結合”?！耙孕沃鷶怠敝械摹靶巍?，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型，若無形，則可另行構造或聯(lián)想。因此“以形輔數”的途徑大體有三種：一是運用圖形；二是構造圖形；三是借助于代數式的幾何意義。以下我將從“數形結合”在哪些題型中可以應用和使用“數形結合”時要注意哪些事項這兩個方

4、面來具體介紹數形結合這種思想方法。1.數形結合思想的應用1.1在方程、函數問題中的應用　方程f(x)–g(x)=0的解情況，可化為f(x)＝g(x)的解情況，也可看作函數y=f(x)與y=g(x)圖像的交點的橫坐標的情況，所以只要我們準確地畫出這兩個函數的圖像，再根據圖像就能很容易地看出它們有幾個交點，及交點大致的位置或坐標，還有一些其它的重要信息，這樣我們就可以根據這些信息來解題，特別是選擇題。對于計算題，我們也可以用數形結合這種方法為自己提供一種思考問題的思路，也可以用來檢查自己到底有沒有做錯。例１　拋物線與

5、x軸的兩個交點為Ａ、Ｂ，點Ｑ(4，8k)在拋物線上且AQ⊥BQ，則＝（　　）?。痢ⅲ薄。隆ⅲ薄。?、２?。?、３分析　這樣的題目，用常規(guī)的解法很難找到突破口。如圖１-１所示：我們不難發(fā)現(xiàn)，不論函數圖像開口向上還是向下，a，k總是異號的，即再看看各個備選項，不難發(fā)現(xiàn)只有Ａ表示的是小于０的。故本題選（Ａ）。例２　方程的實數根個數有（　）Ａ、１?。?、２?。?、３　Ｄ、４分析　直接去解這個方程，對于中學學生來說是不可能的事。判斷原方程的根的個數就是判斷圖像?????????與的交點個數，畫出這兩個函數圖像（圖1-２），從圖形

6、中我們很明顯地知道這兩個圖像只有兩個交點，故本題選（Ｂ）。例３　若關于x的方程的兩根都在１與３之間，求k的取值范圍？分析　令，如圖1-3所示，其圖像與x軸交點的橫坐標就是方程f(x)=0的解，要使兩根都在１，３之間，只需f(1)>0，f(3)>0，，1<-k<3同時成立，解得，故k∈(-３，－１)。一般地，只要已知一元二次方程的兩個根的所在范圍，就可以用數形結合的方法來比較容易地解決。一元二次方程的兩根（）分布情況大致有以下這幾種：一是兩根在一個開區(qū)間內，則要滿足這個區(qū)間兩端點的函數值都與其頂點坐標的縱坐標異號就

7、行；二是兩根在某個數的兩側，則要滿足函數在這個數的函數值與a的乘積小于０就行；三是兩根分別在某個區(qū)間內，則要滿足每個區(qū)間兩端點的函數值異號就行；四是兩根在某個數的一側，則、要滿足其對稱軸在這個數的所要的一側，這個數的函數值與其頂點坐標的縱坐標異號就行；五是兩根在某個區(qū)間之外即兩側，則、要滿足這個區(qū)間兩端點的函數值與a的乘積都小于０就行。當然了，這里只考慮到開區(qū)間，要是遇到閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間時，區(qū)間的端點要另外再討論。1.??2在最值問題中的應用　最值問題，一般就是求某個代數式或函數的最大值或最小值了，當然有些題

8、目是可以借助于重要不等式等知識直接解決的，但有些題目用這些方法都比較復雜，而且計算量很大。這時我們就要換一種方法來考慮問題了，不要思維定勢。我們可以考慮一下這些代數式的幾何意義了，再結合代數式中所隱含的幾何圖形，應用幾何知識來求其最大值或最小值。代數式的幾何意義有很多，在這我主要地介紹以下幾種：一是表示直線斜率的——轉化為求直線斜率的問題；二是表示兩點間的距離——轉化為求