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1、總第294期敏爻f‘Tota1．2942014年10月TheScienceEducationArticleCollectsOctober2014(C)反例在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中的應(yīng)用潘維維(南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院江蘇·泰州225300)中圖分類號(hào)：G642．41文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672—7894(2014)30—0047—02摘要在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中恰當(dāng)?shù)厥褂梅蠢芎芎玫貛途哂幸欢ǖ睦碚撘饬x。助學(xué)生正確理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)概念及定理。本文通過列1極限理論中的反例舉恰當(dāng)?shù)睦?，?gòu)造反例深入探
2、討與研究了“數(shù)學(xué)分析”教命題1：數(shù)列％)收斂可以證明％)有界，但{％)有界材中關(guān)于極限、導(dǎo)數(shù)、微分和連續(xù)性等相關(guān)問題。數(shù)學(xué)分析不可以證明{)收斂。的反例研究對(duì)于數(shù)學(xué)分析教學(xué)具有較好的指導(dǎo)意義。例1：數(shù)列{(一1))有界，但它并不收斂，但若數(shù)列}關(guān)鍵詞反例極限導(dǎo)數(shù)與微分連續(xù)性無界，則{)發(fā)散。TheApplicationofCounterexamplesintheTeachingof命題2：數(shù)列】收斂不一定單調(diào)，數(shù)列％)單調(diào)不一”MathematicalAnalysis”／／PanWeiwei定收斂，有界的單
3、調(diào)數(shù)列必有極限。AbstractAproperuseofcounterexamplesinmathematical例2：：2n單調(diào)元界，％)發(fā)散，收斂，但不單analysislearningcanefectivelyhelpstudentscorrectlyunder-調(diào)。standandgrasprelatedmathematicalconceptsandprinciples．命題3：V正整數(shù)P，lim()：0，不能斷定)收斂。Throughillustratingproperexamplesandcon
4、structingcoun—terexamples，thispaperfurtherexploredandstudiedrelatedis-例3：Xn-、／發(fā)散，但suesinthetextbookof”MathematicalAnalysis”，suchaslimit，derivative，diferentialandcontinuity．Theresearchoncoun-lim()=，(一x／~-)=l，ira【IV，TTV，Jfterexamplesinmathematicalanalysisiso
5、fpositiveguidingsig-=0。nificancefortheteachingofmathematicalanalysis．命題4：)在a，b)上有界可以證明)在(o，b)上每Keywordscounterexamples；limit；derivativeanddiferential；一點(diǎn)都局部有界，但是，()在a，b)上每一點(diǎn)局部有界不能continuity證明，()在a，b)上有界。例4．fl)：，(O，1)。V。∈(0，1)，li—1_：，由函數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)系中一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，
6、它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的延拓，也是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課數(shù)極限的局部有界性定理可知廠()在點(diǎn)‰處局部有界，但是程的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程、概率論)在(0，1)上是無界的。等必不可少的階梯，也為深入理解大學(xué)數(shù)學(xué)打下必要的基命題5：在保不等式性中，在某鄰域()內(nèi)有)礎(chǔ)，可以加強(qiáng)自己的分析基礎(chǔ)、增強(qiáng)解決問題的能力。很多()，不一定有l(wèi)imf(x)0，于是x<2x，但lim=lim2x=0。味，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣的
7、缺乏。數(shù)學(xué)是由大量證明與反例構(gòu)成的，當(dāng)學(xué)生能夠自己有意識(shí)地構(gòu)造反例，就可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)2導(dǎo)數(shù)與微分理論中的反例數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與逆向思維，同時(shí)提高學(xué)生的分析與解決命題6如果函數(shù))，)在點(diǎn)。處可導(dǎo)，則，()在點(diǎn)。問題的能力，從而達(dá)到理想的教學(xué)質(zhì)量。處一定連續(xù)，函數(shù))在點(diǎn)。處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)XO處本文就數(shù)學(xué)分析中極限、導(dǎo)數(shù)、微分和連續(xù)性中的一些可導(dǎo)。典型的命題，通過構(gòu)造合理恰當(dāng)?shù)姆蠢由顚W(xué)生對(duì)數(shù)列與例6：y=fl)=lI，在xo=0處連續(xù)，卻不可導(dǎo)。函數(shù)的極限、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分、函數(shù)連續(xù)性等方面的研究命題7：若
8、／在點(diǎn)。可導(dǎo)，l／l在點(diǎn)‰不一定可導(dǎo)。與理解，對(duì)在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方面起到了較好的指導(dǎo)作用，例7：在x0=0處可導(dǎo)，但ff在x0=0處不可導(dǎo)。作者簡(jiǎn)介：潘維維(1994一)，女，江蘇姜堰人，南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，理學(xué)學(xué)士，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。47教改教法命題8：-廠()在點(diǎn)‰處可導(dǎo)不一定有)在點(diǎn)‰的每取xo=O,f(x)，g()在xo=O不連續(xù)，但f(x)g(x)=-I在個(gè)鄰域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)
