在概念教學(xué)中反例的應(yīng)用策略

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1、在概念教學(xué)中反例的應(yīng)用策略哈師大附中閆明欣概念是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)中，有許多的概念，對(duì)于某些重要的概念，有時(shí)僅從正而給出定義說(shuō)明還不夠，為了加深對(duì)這個(gè)概念本質(zhì)屬性的理解，往往還需要舉出不符合定義的反例，通過正反兩方面的比較和鑒別消除容易出現(xiàn)的一些模糊認(rèn)識(shí).我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，要根據(jù)概念內(nèi)涵、外延的特征，以及概念間屬種、交叉、矛盾、對(duì)立等關(guān)系，采取靈活多變的反例應(yīng)用策略.一、當(dāng)概念的內(nèi)涵比較豐富時(shí)，使用反例來(lái)凸顯知識(shí)的本質(zhì)屬性所謂內(nèi)涵豐富是指關(guān)于概念的本質(zhì)屬性比較多.學(xué)生的感知不全面、不精細(xì)，理解這類知

2、識(shí)時(shí)，常常丟掉了新知中部分本質(zhì)屬性，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).此時(shí)可舉反例，幫助學(xué)生找回被丟掉的部分本質(zhì)屬性，獲得正確知識(shí).例1:棱柱的定義是：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的兒何體叫做棱柱.有很多同學(xué)認(rèn)為此定義敘述太“繁”，提出是否能將棱柱定義為：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體叫做棱柱.對(duì)于改動(dòng)是否得當(dāng)，就要將命題與嚴(yán)密的數(shù)學(xué)概念對(duì)照，辨析出其細(xì)微差別，從而可構(gòu)造反例說(shuō)明命題的真?zhèn)?反例：取4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，8個(gè)邊長(zhǎng)為1且有

3、一組對(duì)角為60°的菱形紙板，圍成一個(gè)12面體，如圖所示.其屮，四邊形ABCD、A]B

4、CQi、AEAJ、CGC】H為正方形，其余各四邊形為菱形.例2：曲線與方程：一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.有些學(xué)生不能從曲線方程的必要性和充分性兩個(gè)方面來(lái)完整地理解定義.為了糾正學(xué)生在理

5、解定義時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)地思維的片面性，我們以典型的“單位圓方程”為例，通過非同解變形的方法給出兩個(gè)命題，讓學(xué)生思考辨別：①因?yàn)閱挝粓A上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（F+才_(tái)1）（兀+y_1）=0,所以此方程是單位圓的方程；②因?yàn)橐苑匠蘜-x2-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在單位圓上，所以此方程是單位圓的方程.通過分析，發(fā)現(xiàn)命題①中，（2,-1）滿足方程，但它不是單位圓上的點(diǎn)（即它是直線兀+y-1=0上的點(diǎn)），所以所給方程不是單位圓的方程；命題②中，點(diǎn)（0,-1）在單位圓上,但它不滿足方程（即它是單位圓的下半圓上的點(diǎn)），所以所

6、給方程也不是單位圓的方程.通過對(duì)兩個(gè)反例的剖析，學(xué)生對(duì)于單位圓的方程，進(jìn)而對(duì)于曲線方程的定義有了更完整的理解.二、當(dāng)概念的外延不夠清晰吋，出示反例明確其外延概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象，通常來(lái)說(shuō)明概念反映的是哪些事物.人們?cè)谔岢鰯?shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)命題時(shí)，由于認(rèn)識(shí)的局限性，往往不能準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)到概念的真實(shí)外延，使得認(rèn)識(shí)到的主觀外延與命題條件下的真實(shí)外延有一定的距離.為了使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念加深認(rèn)識(shí)，對(duì)以用概念的分類方法即對(duì)概念的外延分類，進(jìn)一步弄清概念和概念間的關(guān)系.概念的外延不是無(wú)限制的延伸，而是受內(nèi)涵的

7、約朿與限制.在邏輯學(xué)中，定義是明確概念內(nèi)涵的邏輯方法.當(dāng)一個(gè)概念的外延包含于另一個(gè)概念的外延，可適當(dāng)選取擴(kuò)大外延的方式來(lái)獲取反例，從而明確概念的內(nèi)涵.英國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)家伊姆雷?拉卡托斯曾說(shuō)：“靠概念擴(kuò)張進(jìn)行助探批評(píng)的趨勢(shì)，是數(shù)學(xué)生長(zhǎng)的一種最有效的推動(dòng)力”.例3：（2000年上海春季高考數(shù)學(xué)試卷（理）第22題第（2）小題第①題.）規(guī)定c：=皿-1”心-加+1），其中X*,m是正整數(shù)，且C、1,這是組合數(shù)C：（n,m是正整數(shù),且m

8、R,m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，請(qǐng)寫出推廣的形式，并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由.本題生動(dòng)直觀地給出了C：的發(fā)生式定義，問題清楚地提出能否作出滿足題意的推廣.猜想推廣命題為C；1=C；-/w,按照C；”的定義，分析推廣命題的形式知，應(yīng)有xwR,且m,x-m是正整數(shù)，這顯然不可能.我們將陌生的問題轉(zhuǎn)化熟悉的以后，反例就容易獲得.如取x=>/2,m=l,則需無(wú)意義.所以性質(zhì)：C：=C；「不能作滿足條件的推廣.三、當(dāng)概念易向鄰近概念泛化時(shí)，運(yùn)用反例揭示概念之間關(guān)系在數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，相近的或相互聯(lián)系的知識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)

9、時(shí)容易發(fā)生混淆，在心理學(xué)上稱為“痕跡性錯(cuò)誤”，這主要是因?yàn)榕f知識(shí)痕跡的影響而發(fā)生的錯(cuò)誤.概念泛化是指學(xué)習(xí)概念過程中痕跡性錯(cuò)誤的發(fā)生過程.此時(shí)可通過舉反例否定學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，澄清相鄰概念的區(qū)別和聯(lián)系.例4：區(qū)分“函數(shù)/（兀）在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)”與“函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間是（m9n）”.它們的內(nèi)涵相近，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，不太注意它們的區(qū)別，容易混淆.對(duì)于理解函數(shù)/（兀）在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，則