反例在中學數學教學中的應用

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1、反例在中學數學教學中的應用　　摘要：本文對“反例教學法”在數學教學中的運用做了一些研究，利用分析論證的思想介紹了反例在數學教學中的作用，怎樣利用反例教學，以及教育工作者在反例教學時應該注意的問題。充分證明了反例在中學數學教學中不可或缺的重要地位。　　關鍵詞：數學反例；課堂教學；學生思維　　中圖分類號：G632文獻標識碼：B文章編號：1002-7661（2013）12-120-02　　數學中的命題一般可歸納為下述形式，類A具有性質B。我們要推翻這個命題，只須找到一個元素a∈A，而a不具有性質B，則給予了反駁，使得命

2、題不成立。也就是說要構造一個例子，這個例子是屬于A類的，但不具有性質B，這樣的例子，我們叫作反例。[1]所謂反例，通常是指用來說明某個命題不成立的例子。在數學中要證明一個命題成立，要嚴格地論證在符合題設的各種可能的情況下，結論都成立，也就是要求證明必須具有一般性，面面俱到，缺一不可，而要推翻一個命題，卻只需之處在符合題設的某個特殊情況下，結論不成立，也就是只要舉出一個反例就行?！　∫?、數學反例在歷史上的地位5　　任何一個命題，他們要么得到證明，要么被反例推翻，只是時間的遲早而已。邏輯是證明的工具，嚴謹的證明是數學

3、的標志，但當邏輯思維在有些問題上無能為力時，反例卻能一針見血地指出癥結所在，令人耳目一新，拍案叫絕。可見反例是用來駁斥錯誤命題的有力工具，通過反例對命題加以否定或完善，對形成正確的結論形成至關重要的作用。　　二、反例在數學教學中的作用　　1、有利于數學概念的形成和加深概念的理解　　數學概念是整個數學宮殿的基石，因此，它的教學顯得尤其重要。在概念教學中，教師不僅要運用正面的例子來深刻闡明它的本質屬性，而且要善于借助反例加深學生對定義中的關鍵詞、句重要性的認識，以彌補正面教學的不足，從而進一步加深對概念的理解?！　±?/p>

4、如，在進行奇、偶函數概念的教學時，不少學生對概念的理解只是表面的，還沒有深入到其本質，教師可提出問題是偶函數嗎？可能有的學生會不假思索地回答：是。根據此反例，可提醒學生，函數僅當其定義域關于原點對稱時才能談及奇、偶性，所以該函數不是偶函數?！　?、有利于強調重要條件　　任何公式、定理和法則都有它成立的條件和適用的范圍，離開條件或者超越范圍就會犯錯誤。所以教學中要適當引用一些反例，幫助學生牢固地掌握所學的知識，防止或減少失誤。　　3、有利于否定一個錯誤命題　　由于反例在否定一個命題時具有特殊的威力，因此在數學教學中

5、充分利用反例的這一特點，適當地運用反例，改變學生長期形成的錯誤的主觀認識，指出從表象判斷命題成立的膚淺性，否定一個錯誤命題就可達到事半功倍的效果。5　　比如，周期函數都有最小正周期。對于這個命題，相信同學在判斷的時候都會毫不猶豫地認為是正確的，因為很多同學都存在這樣的想法：沒有最小正周期的函數還是周期函數嗎？而且從正面證明其錯誤性又相對復雜。　　4、有利于辨析和糾正錯誤　　學習過程是一個知識積累的過程，同時也是不斷發(fā)現和糾正錯誤的過程。由于反例在辨析錯誤中具有直觀、明顯、說服力強等特點，所以舉反例在揭露錯誤時有特

6、殊的威力，通過反例教學，不但可以發(fā)現學習中的錯誤和漏洞，而且可以從反例中修補有關知識，從而獲得正確的結論或解答?！　∪?、例的構造與學生思維能力的培養(yǎng)　　常用的構造反例的思考方法有：　?。?）從命題結論入手對結論進行分析、推理，得到與結論有聯系的命題（如結論的充分條件、必要條件、充要條件等）而在題設條件下，這些命題有明顯的謬誤?！　。?）從命題題設入手　　從命題的角度來看，題設與結論的地位相似，構造反例的思路也基本一致?！　。?）從極端性入手　　比如，一條直線與一個三角形的兩邊相交，則該直線在三角形所在的平面內。　

7、?。?）從類比入手　　可供類比的有公理、定理、已有的結論（正面、反面）?！　”热?，若一條直線與平面的一條斜線垂直，那么它與斜線的射影垂直。5　　四、學中運用反例應注意的問題　　1、適當時候講授反例　　要在學生對所學知識有了一定的認識和理解的基礎上，才能講授，絕不能在學生剛剛接觸或者還沒有完全掌握時就提出反例給學生，不但起不到好的教學效果，有時還會把學生搞糊涂，弄巧成拙。教師可根據學生知識掌握情況和接受原則，在習題課或復習課時提出反例?！　?、注意主次　　教學中主要講授概念、定理和方法，對于基本的命題和結論應予以嚴

8、格的證明和推導。舉反例重在說明結構，學生對反例掌握要求不能太高，反例應是圍繞主要內容有效輔助手段?！　∥?、數學反例對教師專業(yè)的幫助　　數學反例不但對于學生掌握數學知識，理解數學概念，把握數學本質，加強數學應用方面有積極的作用，而且對教師傳授教學知識，講清數學概念，分析數學問題，業(yè)務成長方面也有推動作用。數學反例的教學，從某種角度上也可反映教師的基本素質和業(yè)務能力，課堂上恰