反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用

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1、反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用摘要：本文對"反例教學(xué)法”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用做了一些研究，利用分析論證的思想介紹了反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，怎樣利用反例教學(xué)，以及教育工作者在反例教學(xué)時(shí)應(yīng)該注意的問題。充分證明了反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要地位。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)反例；課堂教學(xué)；學(xué)生思維中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號:1002-7661(2013)12-120-02數(shù)學(xué)中的命題一般可歸納為下述形式，類A具有性質(zhì)B。我們要推翻這個(gè)命題，只須找到一個(gè)元素a￡A,而a不具有性質(zhì)B,則給予了反駁，使得命題不成立。也就是說要構(gòu)造一個(gè)例子，這個(gè)例子是屬于A類的，但不具有性質(zhì)B,這樣的例

2、子，我們叫作反例。［1］所謂反例，通常是指用來說明某個(gè)命題不成立的例子。在數(shù)學(xué)中要證明一個(gè)命題成立，要嚴(yán)格地論證在符合題設(shè)的各種可能的情況下，結(jié)論都成立，也就是要求證明必須具有一般性，面面俱到，缺一不可，而要推翻一個(gè)命題，卻只需之處在符合題設(shè)的某個(gè)特殊情況下，結(jié)論不成立，也就是只要舉出一個(gè)反例就行。一、數(shù)學(xué)反例在歷史上的地位任何一個(gè)命題，他們要么得到證明，要么被反例推翻,只是時(shí)間的遲早而已。邏輯是證明的工具，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明是數(shù)學(xué)的標(biāo)志，但當(dāng)邏輯思維在有些問題上無能為力時(shí)，反例卻能一針見血地指出癥結(jié)所在，令人耳目一新，拍案叫絕。可見反例是用來駁斥錯(cuò)誤命題的有力工具，通過反例對命題

3、加以否定或完善，對形成正確的結(jié)論形成至關(guān)重要的作用。二、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用1、有利于數(shù)學(xué)概念的形成和加深概念的理解數(shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)宮殿的基石，因此，它的教學(xué)顯得尤其重要。在概念教學(xué)中，教師不僅要運(yùn)用正面的例子來深刻闡明它的本質(zhì)屬性，而且要善于借助反例加深學(xué)生對定義中的關(guān)鍵詞、句重要性的認(rèn)識，以彌補(bǔ)正面教學(xué)的不足，從而進(jìn)一步加深對概念的理解。例如，在進(jìn)行奇、偶函數(shù)概念的教學(xué)時(shí)，不少學(xué)生對概念的理解只是表面的，還沒有深入到其本質(zhì)，教師可提出問題是偶函數(shù)嗎？可能有的學(xué)生會不假思索地回答：是。根據(jù)此反例，可提醒學(xué)生，函數(shù)僅當(dāng)其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)才能談及奇、偶性，所以該函數(shù)不

4、是偶函數(shù)。2、有利于強(qiáng)調(diào)重要條件任何公式、定理和法則都有它成立的條件和適用的范圍，離開條件或者超越范圍就會犯錯(cuò)誤。所以教學(xué)中要適當(dāng)引用一些反例，幫助學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的知識，防止或減少失誤。3、有利于否定一個(gè)錯(cuò)誤命題由于反例在否定一個(gè)命題時(shí)具有特殊的威力，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分利用反例的這一特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例，改變學(xué)生長期形成的錯(cuò)誤的主觀認(rèn)識，指出從表象判斷命題成立的膚淺性，否定一個(gè)錯(cuò)誤命題就可達(dá)到事半功倍的效果。比如，周期函數(shù)都有最小正周期。對于這個(gè)命題，相信同學(xué)在判斷的時(shí)候都會毫不猶豫地認(rèn)為是正確的，因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)都存在這樣的想法：沒有最小正周期的函數(shù)還是周期函數(shù)嗎？而且

5、從正面證明其錯(cuò)誤性又相對復(fù)雜。4、有利于辨析和糾正錯(cuò)誤學(xué)習(xí)過程是一個(gè)知識積累的過程，同時(shí)也是不斷發(fā)現(xiàn)和糾正錯(cuò)誤的過程。由于反例在辨析錯(cuò)誤中具有直觀、明顯、說服力強(qiáng)等特點(diǎn)，所以舉反例在揭露錯(cuò)誤時(shí)有特殊的威力，通過反例教學(xué)，不但可以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤和漏洞，而且可以從反例中修補(bǔ)有關(guān)知識，從而獲得正確的結(jié)論或解答。三、例的構(gòu)造與學(xué)生思維能力的培養(yǎng)常用的構(gòu)造反例的思考方法有：(1)從命題結(jié)論入手對結(jié)論進(jìn)行分析、推理，得到與結(jié)論有聯(lián)系的命題(如結(jié)論的充分條件、必要條件、充要條件等)而在題設(shè)條件下，這些命題有明顯的謬誤。(2)從命題題設(shè)入手從命題的角度來看，題設(shè)與結(jié)論的地位相似，構(gòu)造反例

6、的思路也基本一致。(1)從極端性入手比如，一條直線與一個(gè)三角形的兩邊相交，則該直線在三角形所在的平面內(nèi)。(2)從類比入手可供類比的有公理、定理、已有的結(jié)論(正面、反面)。比如，若一條直線與平面的一條斜線垂直，那么它與斜線的射影垂直。四、學(xué)中運(yùn)用反例應(yīng)注意的問題1、適當(dāng)時(shí)候講授反例要在學(xué)生對所學(xué)知識有了一定的認(rèn)識和理解的基礎(chǔ)上，才能講授，絕不能在學(xué)生剛剛接觸或者還沒有完全掌握時(shí)就提出反例給學(xué)生，不但起不到好的教學(xué)效果，有時(shí)還會把學(xué)生搞糊涂，弄巧成拙。教師可根據(jù)學(xué)生知識掌握情況和接受原則，在習(xí)題課或復(fù)習(xí)課時(shí)提出反例。2、注意主次教學(xué)中主要講授概念、定理和方法，對于基本的命題和結(jié)

7、論應(yīng)予以嚴(yán)格的證明和推導(dǎo)。舉反例重在說明結(jié)構(gòu)，學(xué)生對反例掌握要求不能太高，反例應(yīng)是圍繞主要內(nèi)容有效輔助手段。五、數(shù)學(xué)反例對教師專業(yè)的幫助數(shù)學(xué)反例不但對于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用方面有積極的作用，而且對教師傳授教學(xué)知識，講清數(shù)學(xué)概念，分析數(shù)學(xué)問題，業(yè)務(wù)成長方面也有推動作用。數(shù)學(xué)反例的教學(xué)，從某種角度上也可反映教師的基本素質(zhì)和業(yè)務(wù)能力，課堂上恰如其分地給出數(shù)學(xué)反例，提高學(xué)生興趣，加深學(xué)生印象，通過比較、舉例讓學(xué)生達(dá)到舉一反三、融會貫通的目的，這是一名教師駕馭課堂氛圍的能力體現(xiàn)。上面已經(jīng)