對于質(zhì)點在有心力場中運動問題的討論.ppt

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1、關(guān)于質(zhì)點在有心力場中運動問題的討論作者：王華引子質(zhì)點在有心力場中運動，其角動量守恒，機械能也守恒。有了這“兩大法寶”，解決該類問題就容易多了，下面以一具體的例子來討論該類問題。題目如力圖4－7－1，飛船總質(zhì)量為m,內(nèi)裝質(zhì)量為m0的探測器，繞地球沿橢圓軌道運行，近地點與地心距離為r1,速度為v1=r2r1v1v2力圖4－7－1（1）試證明?

2、3）如力圖4－7－3，若在遠地點以上述相對速度u發(fā)射探測器，試求探測器運行的軌道。mv2v2’m-m0u+v2’m0力圖4－7－3發(fā)射前發(fā)射后分析1.飛船繞橢圓軌道運行時，角動量守恒，機械能守恒，它們確定了飛船的運動特征，限制了a的取值。2.發(fā)射探測器前后，飛船（包括探測器）動量守恒。發(fā)射后，探測器沿拋物線運動，其機械能應(yīng)為零，飛船（不包括探測器）作圓軌道運動所需向心力來自地球引力。3.發(fā)射探測器前后，飛船（包括探測器）動量守恒，探測器軌道的特征由其機械能E確定，E<0為橢圓或圓軌道，E=0為拋物線，E>0為雙曲線。解答1.直接求a顯然很困難,但由于飛船軌道

3、受約束的特性,可解出遠近地點與地心的距離r2與r1的約束關(guān)系,根據(jù)它們的關(guān)系解出a的取值范圍。飛船繞地球作橢圓軌道運動,設(shè)在遠地點r2處的速度為v2:由角動量守恒mr1v1=mr2v2即mr1=mr2v2(1)由飛船地球系統(tǒng)的機械能守恒?m(2aGM/r1)-GMm/r1=?mv22-GMm/r2(2)由(1)(2)解得:(r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0解出兩個根｛其中r1/r2=1為圓軌道,不合題意,舍去.應(yīng)取r1/r2=(1-a)/a由于0

4、v1,設(shè)發(fā)射后飛船速度為v1’,設(shè)探測器相對飛船得速度為u,由動量守恒，mv1=(m-m0)v1’+m0(u+v1’)(1)發(fā)射后，探測器沿拋物線運動，總機械能為0。即E=1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1=0(2)發(fā)射探測器后，飛船作圓運動，故GM(m-m0)/r12=(m-m0)v1’2/r1式中M為地球質(zhì)量，即v1’==v1/(3)由（1）式mv1=mv1’+m0u即u=m/m0(v1-v1’)(4)由(2)(3)式，得：(u+v1’)2-2v1’2=0即u2+2uv1’-v1’2=0把（4）式代入上式，得出m/m0滿足得方程為(m/m0)2

5、(v1-v1’)2+2(m/m0)(v1-v1’)v1’-v1’2=0舍去負(fù)根后，解出：m/m0=(-1)v1’/(v1-v1’)將（3）式代入，得m/m0=(-1)/(-1)所以質(zhì)量比為m0/m=(-1)/(-1)(5)代入（4）式，得出探測器得相對速度為3.飛船及探測器在發(fā)射探測器前在遠地點得速度為v2,在近地點得速度為前述v1,作橢圓軌道運動，由角動量守恒，mr1v1=mr2v2即v2=(r1/r2)v1設(shè)飛船在遠地點以上述相對速度u發(fā)射探測器后，飛船得速度變?yōu)関2’,則探測器得速度應(yīng)該為v2’+u,由動量守恒得：mv2=(m-m0)v2’+m0(v2

6、’+u)即mv2=(m-m0)(u+v2’)-(m-m0)u+m0(u+v2’)故發(fā)射后探測器的速度為u+v2’=[mv2+(m-m0)u]/m=v2+(1-m0/m)u(6)式中的相對速度u前已求出，利用已知的關(guān)系v1=(r2/r1)v2r1/r2=(1-a)/a可將u用v2表示，得：代入（6）式，并注意到m0/m已由（5）式給出，有因故式中令探測器軌道得類型可根據(jù)其總能量E來判斷E=1/2mv2-GMm/r其中v探測器速度可寫成對于橢圓軌道，E<0,b<1；對于拋物線軌道E=0,故b=1;對于雙曲線軌道，E>0,b>1.因此探測器軌道得類型可由b的值來判

7、斷。由前1/20,b>1,為雙曲線軌道把（7）展開并化簡因前已得出1/2