拉氏變換及拉氏反變換.ppt

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1、2.2拉氏變換及拉氏反變換拉氏變換的定義幾種典型函數(shù)的拉氏變換拉氏變換的主要定理拉氏反變換拉氏變換在控制工程中的應(yīng)用2.2.1拉氏變換的定義概述對于利用微分方程表達的數(shù)學(xué)模型形式，采用手工計算的方式求解是很煩瑣的。利用拉氏變換，可將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，使求解大為簡化，故拉氏變換是分析機電控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法之一。在此基礎(chǔ)上，進一步得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.2.1拉氏變換的定義概述拉氏變換實際上是一種函數(shù)變換。關(guān)于函數(shù)的變換我們在初等數(shù)學(xué)中也曾經(jīng)用過。例如，用對數(shù)的方法就可以把乘、除的運算變成加、減的運算，乘方、開方的運算變成乘、除的運算。例如，拉氏變換亦與此相似，即把微分方程變換為代

2、數(shù)方程求解。2.2.1拉氏變換的定義定義對于時間函數(shù)f（t），如果滿足當(dāng)t<0時，f（t）=0；當(dāng)t≥0時，實函數(shù)f（t）的積分在s的某一域內(nèi)收斂，則定義f（t）的拉氏變換為并記作，其中算子s為復(fù)數(shù)，即F(s)稱為f(t)的象函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。在拉氏變換中，s的量綱是時間的倒數(shù)，即t-1；F(s)的量綱是f(t)的量綱與時間t的量綱的乘積。2.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)1(t)的拉氏變換單位階躍函數(shù)的定義為1（t）=由拉氏變換的定義得0t<01t≥02.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換單位脈沖函數(shù)δ(t)的拉氏變換單位脈沖函數(shù)的定義為δ(t)=，，且δ(t)有

3、如下特性式中f(0)——t=0時刻的f(t)的函數(shù)值。由拉氏變換的定義得0t≠01t=02.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換單位斜坡函數(shù)的拉氏變換單位斜坡函數(shù)的定義為t(t)=由拉氏變換的定義得0t<0tt≥02.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)的拉氏變換2.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換單位加速度函數(shù)的拉氏變換單位加速度函數(shù)的定義為其拉氏變換為2.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)sinωt和余弦函數(shù)cosωt的拉氏變換根據(jù)歐拉公式，有則2.2.2幾種典型函數(shù)的拉氏變換由拉氏變換的定義及指數(shù)函數(shù)的拉氏變換得附錄A：常用函數(shù)拉氏變換對照表必須熟記、牢記（Z變換不做要求）。2.2.3拉氏變

4、換主要定理線性定理（疊加原理）拉氏變換是一個線性變換，若有常數(shù)k1、k2，函數(shù)f1(t)、f2(t)，則延遲定理（延時定理）設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一正實數(shù)a，有位移定理（衰減定理）設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一常數(shù)a（實數(shù)或復(fù)數(shù)），有相似定理設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，有任意常數(shù)a，則2.2.3拉氏變換主要定理微分定理設(shè)f(n)(t)表示f(t)的n階導(dǎo)數(shù)，n=1，2，3，……正整數(shù)，f(t)的拉氏變換為F(s)，則2.2.3拉氏變換主要定理積分定理設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，則2.2.3拉氏變換主要定理初值定理設(shè)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)均為可拉氏變換的，則f(

5、t)的初值為終值定理設(shè)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)均為可拉氏變換的，則f(t)的終值為象函數(shù)的微分性質(zhì)tf(t)的拉氏變換為2.2.3拉氏變換主要定理象函數(shù)的積分性質(zhì)的拉氏變換卷積定理設(shè)，若原函數(shù)f(t)和g(t)的卷積為則它的拉氏變換可表示為2.2.4拉氏反變換拉氏反變換的定義拉氏反變換的計算方法拉氏反變換的部分分式展開法2.2.4.1拉氏反變換的定義已知象函數(shù)F(s)，則原函數(shù)f(t)為式中σ為大于F(s)的所有奇異點實部的實常數(shù)，即F(s)在該點不解析，也就是說F(s)在該點及其鄰域不處處可導(dǎo)。2.2.4.2拉氏反變換的計算方法通過拉氏反變換的定義來計算原函數(shù)，顯然，該方法是非常繁瑣的。對

6、于簡單的F(s)，可直接利用附錄A《常用函數(shù)拉氏變換表》查出相應(yīng)的原函數(shù)f(t)。對于復(fù)雜的F(s)，通常采用部分分式法將其分解成若干個簡單的標(biāo)準(zhǔn)形式的象函數(shù)之和，然后再通過查表，分別求出各個標(biāo)準(zhǔn)象函數(shù)的原函數(shù)，再應(yīng)用疊加原理即可求出原函數(shù)f(t)。2.2.4.3拉氏反變換的部分分式展開法概述在控制系統(tǒng)中，常遇到的象函數(shù)是復(fù)數(shù)s的有理代數(shù)分式，即其中，使分母為零的s值稱為極點，使分子為零的s值稱為零點。將象函數(shù)做適當(dāng)變換，使分母最高階的系數(shù)為1，則2.2.4.3拉氏反變換的部分分式展開法根據(jù)實系數(shù)多項式因式分解定理，其分母n次多項式應(yīng)該n個根，可分解為因式相乘，即2.2.4.3拉氏反變換

7、的部分分式展開法X(s)=0無重根的情況將化為部分分式，即現(xiàn)在的任務(wù)就是確定ki的值，ki確定了，就可根據(jù)表2-1確定f（t）了。ki可由下式求得從而求出f（t）。例2-11求的拉氏反變換解：F(s)的部分分式為2.2.4.3拉氏反變換的部分分式展開法X(s)=0含有共軛復(fù)根的情況將化為如下部分分式，即現(xiàn)在的任務(wù)是確定ki，k1，k2按以下步驟求?。簩⑸鲜絻啥送瑫r乘以(s+σ+jβ)(s+σ-jβ)，同時令s=-σ-jβ（或者同時令