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1、一、PK模型在PK模型垂直性裂縫如(圖4.4)的擴展有如下假設(shè):(1)裂縫有一個固定高度，與縫長無關(guān)。(2)與裂縫擴展方向垂直的橫截而屮的液體壓力P為常數(shù)。(3)垂直平面存在有巖石的剛度，它抵抗在壓力P作用下產(chǎn)牛的形變。換句話說，每一個垂直截面獨立變形，不受鄰近截面的妨礙。(4)由此，在這些橫截面屮，方程4.3將縫高h(yuǎn)f,液體壓力P和該點的裂縫寬度聯(lián)矣起來：這些橫截面為一個橢圓形，其屮心最大寬度為，wx,t.1,hfpHG(4.13)(5)用在一個狹窄的橢圓形流動通道屮的流動阻力來確定裂縫擴展方向或x方向申液體壓力梯度，對于牛頓流情況?.
2、pH64q(4.14)3xwhf(6)?在沒有特殊理由吋，縫xNordgrcn修改了裂縫寬度增長對流量的影響，修改后的連續(xù)性方程如下：hwqf(4.15)x4t通過(4.15)從方程(4.13)消去pH=p—項,得到關(guān)于的非線性偏微分方程，G2w2w~0(4.16)641hfx2t滿足初始條件：當(dāng)t=0吋，vyx,0-0邊界條件：xLtxyx,t0對于單翼裂縫?qO,tqO對于雙翼裂縫qO,tlq021/4裂縫形狀為,yx,twO,tlx/L裂縫體積為，V5LhfwO,tqOt二、GDK模型對于一個垂直的矩形裂縫擴展模型，(圖4.5)與
3、PK理論有些相似圖4.5根據(jù)Geertsma和deKlerk結(jié)果所作層流吋裂縫線性擴展示意圖此模型有如下假設(shè)：(1)假設(shè)縫高依然是固定的。(2)僅在水平面考慮巖石剛度。由于這個原因，裂縫寬度，裂縫寬度與縫高無關(guān)，除了井眼邊界條件規(guī)定一?個不變的總注入量q。當(dāng)然，每單位縫高的流量比q/hf影響裂縫寬度，但在垂言方向上寬度不變，由于該理論是建立在平面應(yīng)變條件的基礎(chǔ)上，由此條件得到在各個水平而里力學(xué)上令人滿意的模型。然而在實際屮應(yīng)用于整個牛產(chǎn)層時，此模型得到相對來說較寬的裂縫，在許多現(xiàn)場例子屮，這似乎比PK理論預(yù)測的較窄的裂縫更接近實際情況，關(guān)
4、于此現(xiàn)象的道理還不能充分解釋。(3)通過計算垂直方向上各個寬度不同的細(xì)窄矩形裂縫(4.17)w3x,tLpx,tdx02H(4.18)方程(4.17)適用于-側(cè)縫長，qO取為總排量，這與在初始的PK理論屮所作的假設(shè)q0很相像。Biot等人已引入x的修正項。x根據(jù)Zheltov和Khristianovithdc建議，滿足方程(4.18)的液體壓力分布能由下式近似為oLO/LpfpOLO/L1pf0式屮LO/L接近1.這里可提供開始計算所需的“濕縫長”，(為承壓段縫長)0LO/Lsin(4.19)2此種近似通常情況下精度足夠，此外，在GDK公
5、式屮，Kc對L0/L的貢獻(xiàn)沒略去，0sinH除了緊靠裂縫周邊之外，水平面里的裂縫形狀為橢圓形，井眼處有2pf最大縫寬為：wO,t取L21LpH(4.20)G1hf,上式與PK理論中的式(4.13)類似2接下來的問題是確定pf的大小，它取決于鍥形裂縫尖端附近的液體壓力急劇下降，確定液體在裂縫屮的流動阻力的一個很好的近似方程如下，w30,t71/2?i(4.21)3??wx,t4將此方程代入(4.17)Z后，進(jìn)一步得出單翼裂縫的體積等于,VhfLwO,t最后我們得岀，3GqO2/3Lt0.6t(4.23)31hf3???.1.qo和w0,t1
6、.83Ghf1/61/31/6101M21/2d4hfLwOt,qOtt(4.22)(4.24)三、兩個模型的比較表4.1和4.2對于PK,PKN和GDK模型給出了裂縫長度，最大縫寬和泵入壓力。四、帶有濾失吋的裂縫尺寸的計算Nordgrcn擴展的PK理論PK不考慮液體進(jìn)入地層，Nordgrcn修補了這個不足。某點連續(xù)性方程成為（與方程4.15相比較），qhfwql0（4.42）x4t該點qi被定義為單位縫長的濾失，qi2hK（4.43）因為PK模型似乎對長時間作業(yè)最為適用，在這種情況下選用近似式，式川隨效果較好，由此導(dǎo)岀，L1qql0xq
7、O2hfkl式屮詒x/L,于是此解相似于Carter的解，1arcsinqOLlqhfKlq.2和由此導(dǎo)出22.qO1/8(4.45)GhKfl1/422GqO1/8和(4.46)GhKfl1/41/41/4由此推出縫寬沿縫長X的分布21/2wx,twO,tsinl1五、帶有濾失的GDK模型與PK模型相反，初始的GDK模型是以小wO43t??pO43t21/4值為最適合現(xiàn)成模擬條件（，即適用于低的濾失系數(shù)和短的施工吋間。由此可得出2aLqO(4.49)216hfKlLwOatV81ccrfcapspL其中，aLwO,tpV8sp我們用下式
8、作為L和wZfiiJ的第二個關(guān)系來求解兩個未知數(shù).lvqOL2wO,tp2.27Ghf對于大的液體濾失（>4）情況，有方程wO1.58t??wO3.1G1/5L3/5??qOlv1/53
