極坐標(biāo)與極坐標(biāo)方程.doc

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1、全面解析極坐標(biāo)極坐標(biāo)及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用1.極坐標(biāo)概述第一個用極坐標(biāo)來確定平面上點的位置的是牛頓。他的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努力利于1691年在《教師學(xué)報》上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線。在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并不是確定點的位置的唯一方法。有些復(fù)雜的曲

2、線用直角坐標(biāo)表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡單且便于處理，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問題也變的極其簡單。通過探究極坐標(biāo)在平面解析幾何中的廣泛應(yīng)用，使我們能夠清楚的認(rèn)識到，用極坐標(biāo)來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數(shù)學(xué)問題比用直角坐標(biāo)具有很大的優(yōu)越性，故本文對其進(jìn)行了初步探討。國內(nèi)外研究動態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面，很多學(xué)者對極坐標(biāo)以及極坐標(biāo)方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，很多學(xué)者對極坐標(biāo)也有較深的研究。由此看來，極坐標(biāo)已應(yīng)用到各個領(lǐng)域。1.1極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個定點，叫作極點，引一條射線，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取

3、逆時針方向)。對于平面內(nèi)任意一點，用表示線段的長度，表示從到的角度，叫點的極徑，叫點的極角，有序數(shù)對就叫點的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系，記作．若點在極點，則其極坐標(biāo)為=0，可以取任意值。12全面解析極坐標(biāo)圖1-1圖1-2如圖1-2，此時點的極坐標(biāo)可以有兩種表示方法：(1)＞0，(2)＞0，同理，也是同一個點的坐標(biāo)。又由于一個角加后都是和原角終邊相同的角，所以一個點的極坐標(biāo)不唯一。但若限定，，那么除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了。1.2曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有這兩個變數(shù)的方程來表示，這種方程叫曲線的極坐標(biāo)方程。求曲線的極坐標(biāo)方程的方法與步驟

4、：1°建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，并設(shè)動點的坐標(biāo)為；2°寫出適合條件的點的集合；3°；4°化簡所得方程；5°證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程：12全面解析極坐標(biāo)圖1-3過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以焦點為極點，的反向延長線為極軸，建立極坐標(biāo)系。設(shè)是曲線上任意一點，連結(jié)，作⊥，⊥，垂足分別為．那么曲線就是集合.設(shè)焦點到準(zhǔn)線的距離，得即這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。其中當(dāng)時，方程表示橢圓，定點是它的左焦點，定直線是它的左準(zhǔn)線。時，方程表示開口向右的拋物線。時，方程只表示雙曲線右支，定點是它的右焦點，定直線是它的右準(zhǔn)線。若允許，方程就表示整個雙曲線

5、。1.3極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，設(shè)是平面內(nèi)任意一點，其直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)是，從點作⊥，由三角函數(shù)定義，得.12全面解析極坐標(biāo)圖1-4進(jìn)一步有注：在一般情況下，由確定角時，可根據(jù)點所在的象限取最小角。2極坐標(biāo)在平面解析幾何中的應(yīng)用2.1極坐標(biāo)法求到定點的線段長度解析幾何中涉及到某定點的線段長度時，可以考慮利用極坐標(biāo)法求解。但是絕大多數(shù)解析幾何問題中題設(shè)條件是以直角坐標(biāo)方程形式給出的，在求解過程中運算繁瑣復(fù)雜，將此類問題轉(zhuǎn)化為用極坐標(biāo)方程求解，十分簡潔，收到良好的效果。巧設(shè)極點，建立極坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)

6、鍵。2.1.1以定點為極點如果題設(shè)條件與結(jié)論中，涉及到過某定點的線段長度問題，應(yīng)該取該點為極點，先將直角坐標(biāo)原點移動到點，施行平移公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式，化普通方程為極坐標(biāo)方程求解。12全面解析極坐標(biāo)例1設(shè)等腰的頂角為，高為，在內(nèi)有一動點，到三邊的距離分別為，并且滿足關(guān)系，求點的軌跡。圖2-1解:如圖2-1所示,以為極點,∠的平分線為極軸,建立極坐標(biāo)系，設(shè)點極坐標(biāo)為,則由得化簡得化成直角坐標(biāo)方程為這是以為圓心，以為半徑的圓，所求的軌跡是該圓在等腰內(nèi)部的部分。2.1.2以原點為極點如果題設(shè)條件或結(jié)論中涉及到直角坐標(biāo)系原點的線段長度時，應(yīng)選取原點為極點，應(yīng)用互化公式，將直角

7、坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程求解。12全面解析極坐標(biāo)例2已知橢圓，直線:，是上一點，射線交橢圓于，又點在上，且滿足，當(dāng)點在上移動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解:如圖2-2所示，以為極點，為極軸，建立極坐標(biāo)系。則由互化公式知橢圓的極坐標(biāo)方程為(1)直線的極坐標(biāo)方程為(2)，則由(1)式知由(2)式知又,有所以即點的軌跡是以為中心，長軸、短軸分別為且長軸平行與軸的橢圓，去掉坐標(biāo)原點。12全面解析極坐標(biāo)圖2-22.1.3以焦點為極點凡涉及圓錐曲線的焦半徑或焦點弦長度的問題，應(yīng)選取焦點為極點