連續(xù)介質(zhì)力學(xué)第二講.ppt

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1、三、應(yīng)力理論1.Cauchy應(yīng)力定義在即時(shí)構(gòu)形中的應(yīng)力張量又稱真應(yīng)力.變形后斜截面上的應(yīng)力矢量:作用于上的力:Cauchy應(yīng)力是以即時(shí)構(gòu)形中的面積為基準(zhǔn)來(lái)度量的。由微六面體的力矩平衡，可知經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)學(xué)理論中為對(duì)稱張量,即:2．第一類P-K(Piola-Kirchhoff)應(yīng)力P又稱名義應(yīng)力即時(shí)構(gòu)形中的面元矢量對(duì)應(yīng)于參考構(gòu)形中的面元矢量P稱為第一類P-K應(yīng)力根據(jù)Nanson公式:令:其中:注意內(nèi)力不是真正作用在面元上.其中:也是兩點(diǎn)張量3.Kirchhoff應(yīng)力張量Kirchhoff應(yīng)力張量與Cauchy應(yīng)力張量一樣,也是對(duì)稱張量根據(jù)定義有:分量形式:同

2、理:定義在即時(shí)構(gòu)形中的張量4．第二類P-K應(yīng)力T定義:根據(jù)定義:所以:可證如果Cauchy應(yīng)力（或Kirchhoff應(yīng)力張量)為對(duì)稱張量,則第二類P-K應(yīng)力也是對(duì)稱張量。由于:分量形式有:作用于即時(shí)構(gòu)形中面元上的內(nèi)力通常有三種表示方法:四、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本方程1、質(zhì)量守恒以與各表示初始構(gòu)形與即時(shí)構(gòu)形中的質(zhì)量密度根據(jù)質(zhì)量守恒率:所以:其中:對(duì)方程兩邊求物質(zhì)導(dǎo)數(shù):可證明:所以:率形式的質(zhì)量守恒律證明:引理:設(shè)矩陣a的行列式為:,元素的代數(shù)余子式記作將行列式看作它的9個(gè)元素的函數(shù)，則有:則有:而:所以:現(xiàn)在把J看作其9個(gè)元素的函數(shù)，對(duì)時(shí)間求物質(zhì)導(dǎo)數(shù)而:所以:2

3、.動(dòng)量方程（Balanceoflinearmomentum）在即時(shí)構(gòu)形中，任意取一個(gè)域，體積元記為對(duì)此域運(yùn)用動(dòng)量定理:由GREEN公式:由于域是任意的:對(duì)于體積力為零的靜力學(xué)問(wèn)題:2.1以前的推導(dǎo)2.2第二種方法引理：在即時(shí)構(gòu)型上體積分的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)所以：動(dòng)量矩定理:3.角動(dòng)量方程（Balanceofangularmomentum）所以：4.守恒率的一般形式如果采用歐拉描述，上述三個(gè)守恒率可表達(dá)為：固體力學(xué)常采用拉格朗日描述：其中：拉格朗日描述中，體元體積不變：對(duì)物質(zhì)坐標(biāo)求散度5.能量平衡律在即時(shí)構(gòu)型中任意v域內(nèi)的總能量P由動(dòng)能K與內(nèi)能E組成，即根據(jù)熱力學(xué)第

4、一定律，總能量P的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，即對(duì)時(shí)間的變化率等于作用于v域的外力功率與每單位時(shí)間從v域外部所加的熱：式中h表示熱流矢量（或稱熱通量），即每單位時(shí)間每單位面積的熱流，k表示每單位質(zhì)量接受外部的熱（稱為熱源）而其中K為動(dòng)能.動(dòng)能其中由質(zhì)量守恒知:的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為零所以:又根據(jù)平衡方程:而所以:又:其中:為變形率張量旋率張量反對(duì)稱所以:由于上式對(duì)任意域成立,所以有:微分形式的熱力學(xué)第一定律積分形式的熱力學(xué)第一定律其中:為即時(shí)構(gòu)形中單位體積的內(nèi)力功率定義變形功率w為它表示參考構(gòu)形中每單位體積（也就是即時(shí)構(gòu)形中單位體積的J倍)的變形功率.引理1:設(shè)a與b為二階張量,則

5、:即:引理2:即:可以推廣于多個(gè)二階張量點(diǎn)積的情況，例如的其它表達(dá)形式由于:有:我們稱:和為一對(duì)功共軛的應(yīng)力應(yīng)變張量.微分形式的熱力學(xué)第一定律Reddy書6.熵不等式,熵平衡律(熱力學(xué)第二定律）以η表示每單位質(zhì)量的熵,則在即時(shí)構(gòu)形中,v域的總熵為:以θ表示溫度（絕對(duì)溫度,θ＞0），則由熱力學(xué)第二定律，必有:式中h/θ稱為熵流，k/θ稱為熵源。積分形式的熱學(xué)第二定律對(duì)于不可逆過(guò)程，式中取“>”號(hào)，而對(duì)于可逆過(guò)和，則取“=”?？傡氐纳陕?.本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)理論研究應(yīng)力張量與物體運(yùn)動(dòng)歷史的關(guān)系,主要是應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系,本構(gòu)關(guān)系必須滿足一定的原理.坐標(biāo)不變性原

6、理:任何一個(gè)物理過(guò)程與所選的坐標(biāo)系沒(méi)有關(guān)系,如果用張量的抽象記法描述本構(gòu)關(guān)系,則坐標(biāo)不變性自然滿足.2.應(yīng)力確定性原理:物體的應(yīng)力只取決于它過(guò)去的全部變形歷史,而與將來(lái)的運(yùn)動(dòng)變形無(wú)關(guān).3.局部作用原理:某點(diǎn)的應(yīng)力只與該點(diǎn)無(wú)限小鄰域的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān).注意:非局部理論是當(dāng)前固體力學(xué)的研究熱點(diǎn)之一!4.本構(gòu)的客觀性原理:Cauchy應(yīng)力是客觀張量.